Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16386 / 81892
↖ ↑ ↗
← S 40.921815°
W134.994507°		 ← 230.78 m → S 40.921815°
W134.991760°		 →
↑
230.76 m
↓
↑
230.76 m
↓
S 40.923890°
W134.994507°		 ← 230.77 m →
53 254 m²		 S 40.923890°
W134.991760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.125019073486328 y=0.624790191650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.125019073486328 × 217)
    floor (0.125019073486328 × 131072)
    floor (16386.5)     		tx = 16386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624790191650391 × 217)
    floor (0.624790191650391 × 131072)
    floor (81892.5)     		ty = 81892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16386 / 81892 ti = "17/16386/81892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16386/81892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16386 ÷ 217
    16386 ÷ 131072     		x = 0.125015258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81892 ÷ 217
    81892 ÷ 131072     		y = 0.624786376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.125015258789062 × 2 - 1) × π
    -0.749969482421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35609862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.24957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.784055930185638
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35609862} λ = -2.35609862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.784055930185638))-π/2
    2×atan(0.456550513954215)-π/2
    2×0.428287964712878-π/2
    0.856575929425756-1.57079632675     		φ = -0.71422040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35609862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.994507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71422040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.921815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16386 KachelY 81892 -2.35609862 -0.71422040 -134.994507 -40.921815
    Oben rechts KachelX + 1 16387 KachelY 81892 -2.35605068 -0.71422040 -134.991760 -40.921815
    Unten links KachelX 16386 KachelY + 1 81893 -2.35609862 -0.71425662 -134.994507 -40.923890
    Unten rechts KachelX + 1 16387 KachelY + 1 81893 -2.35605068 -0.71425662 -134.991760 -40.923890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71422040--0.71425662) × R
    3.62200000000312e-05 × 6371000     		dl = 230.757620000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71422040--0.71425662) × R
    3.62200000000312e-05 × 6371000     		dr = 230.757620000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35609862--2.35605068) × cos(-0.71422040) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755604131034012 × 6371000     		do = 230.780950867969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35609862--2.35605068) × cos(-0.71425662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.755580405404417 × 6371000     		du = 230.773704449993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71422040)-sin(-0.71425662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755604131034012-0.755580405404417)×R²
    abs(-2.35605068--2.35609862)×2.37256295951838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37256295951838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37256295951838e-05×40589641000000     		ar = 53253.6268865393m²