Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16372 / 81884
↖ ↑ ↗
← S 40.905210°
W135.032959°		 ← 230.79 m → S 40.905210°
W135.030213°		 →
↑
230.82 m
↓
↑
230.82 m
↓
S 40.907285°
W135.032959°		 ← 230.78 m →
53 271 m²		 S 40.907285°
W135.030213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124912261962891 y=0.624729156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124912261962891 × 217)
    floor (0.124912261962891 × 131072)
    floor (16372.5)     		tx = 16372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624729156494141 × 217)
    floor (0.624729156494141 × 131072)
    floor (81884.5)     		ty = 81884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16372 / 81884 ti = "17/16372/81884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16372/81884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16372 ÷ 217
    16372 ÷ 131072     		x = 0.124908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81884 ÷ 217
    81884 ÷ 131072     		y = 0.624725341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.75018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35676973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624725341796875 × 2 - 1) × π
    -0.24945068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.783672434988678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35676973} λ = -2.35676973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783672434988678))-π/2
    2×atan(0.456725632459893)-π/2
    2×0.428432868187844-π/2
    0.856865736375689-1.57079632675     		φ = -0.71393059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35676973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.032959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71393059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.905210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16372 KachelY 81884 -2.35676973 -0.71393059 -135.032959 -40.905210
    Oben rechts KachelX + 1 16373 KachelY 81884 -2.35672180 -0.71393059 -135.030213 -40.905210
    Unten links KachelX 16372 KachelY + 1 81885 -2.35676973 -0.71396682 -135.032959 -40.907285
    Unten rechts KachelX + 1 16373 KachelY + 1 81885 -2.35672180 -0.71396682 -135.030213 -40.907285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71393059--0.71396682) × R
    3.62299999999705e-05 × 6371000     		dl = 230.821329999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71393059--0.71396682) × R
    3.62299999999705e-05 × 6371000     		dr = 230.821329999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35676973--2.35672180) × cos(-0.71393059) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.755793933122978 × 6371000     		do = 230.790769680258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35676973--2.35672180) × cos(-0.71396682) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.755770208877401 × 6371000     		du = 230.783525196468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71393059)-sin(-0.71396682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.755793933122978-0.755770208877401)×R²
    abs(-2.35672180--2.35676973)×2.37242455778386e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37242455778386e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37242455778386e-05×40589641000000     		ar = 53270.5963246176m²