Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16367 / 7982
↖ ↑ ↗
← N 67.415927°
W  0.186768°		 ← 469.16 m → N 67.415927°
W  0.175781°		 →
↑
469.22 m
↓
↑
469.22 m
↓
N 67.411707°
W  0.186768°		 ← 469.24 m →
220 159 m²		 N 67.411707°
W  0.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499496459960938 y=0.243606567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499496459960938 × 215)
    floor (0.499496459960938 × 32768)
    floor (16367.5)     		tx = 16367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243606567382812 × 215)
    floor (0.243606567382812 × 32768)
    floor (7982.5)     		ty = 7982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16367 / 7982 ti = "15/16367/7982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16367/7982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16367 ÷ 215
    16367 ÷ 32768     		x = 0.499481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7982 ÷ 215
    7982 ÷ 32768     		y = 0.24359130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.499481201171875 × 2 - 1) × π
    -0.00103759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00325971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24359130859375 × 2 - 1) × π
    0.5128173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61106332243085
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00325971} λ = -0.00325971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61106332243085))-π/2
    2×atan(5.00813365845789)-π/2
    2×1.37371311139417-π/2
    2.74742622278834-1.57079632675     		φ = 1.17662990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00325971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.186768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17662990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.415927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16367 KachelY 7982 -0.00325971 1.17662990 -0.186768 67.415927
    Oben rechts KachelX + 1 16368 KachelY 7982 -0.00306796 1.17662990 -0.175781 67.415927
    Unten links KachelX 16367 KachelY + 1 7983 -0.00325971 1.17655625 -0.186768 67.411707
    Unten rechts KachelX + 1 16368 KachelY + 1 7983 -0.00306796 1.17655625 -0.175781 67.411707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17662990-1.17655625) × R
    7.36500000000362e-05 × 6371000     		dl = 469.224150000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17662990-1.17655625) × R
    7.36500000000362e-05 × 6371000     		dr = 469.224150000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00325971--0.00306796) × cos(1.17662990) × R
    0.00019175 × 0.384038670002012 × 6371000     		do = 469.156712792255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00325971--0.00306796) × cos(1.17655625) × R
    0.00019175 × 0.384106671258122 × 6371000     		du = 469.239785795768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17662990)-sin(1.17655625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384038670002012-0.384106671258122)×R²
    abs(-0.00306796--0.00325971)×6.80012561098953e-05×R²
    0.00019175×6.80012561098953e-05×6371000²
    0.00019175×6.80012561098953e-05×40589641000000     		ar = 220159.149806001m²