Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16358 / 81869
↖ ↑ ↗
← S 40.874065°
W135.071411°		 ← 230.95 m → S 40.874065°
W135.068664°		 →
↑
230.89 m
↓
↑
230.89 m
↓
S 40.876141°
W135.071411°		 ← 230.94 m →
53 322 m²		 S 40.876141°
W135.068664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124805450439453 y=0.624614715576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124805450439453 × 217)
    floor (0.124805450439453 × 131072)
    floor (16358.5)     		tx = 16358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624614715576172 × 217)
    floor (0.624614715576172 × 131072)
    floor (81869.5)     		ty = 81869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16358 / 81869 ti = "17/16358/81869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16358/81869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16358 ÷ 217
    16358 ÷ 131072     		x = 0.124801635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81869 ÷ 217
    81869 ÷ 131072     		y = 0.624610900878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124801635742188 × 2 - 1) × π
    -0.750396728515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.35744085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624610900878906 × 2 - 1) × π
    -0.249221801757812 × 3.1415926535     		Φ = -0.782953381494377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35744085} λ = -2.35744085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782953381494377))-π/2
    2×atan(0.457054160722393)-π/2
    2×0.428704660289352-π/2
    0.857409320578704-1.57079632675     		φ = -0.71338701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35744085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.071411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71338701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.874065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16358 KachelY 81869 -2.35744085 -0.71338701 -135.071411 -40.874065
    Oben rechts KachelX + 1 16359 KachelY 81869 -2.35739291 -0.71338701 -135.068664 -40.874065
    Unten links KachelX 16358 KachelY + 1 81870 -2.35744085 -0.71342325 -135.071411 -40.876141
    Unten rechts KachelX + 1 16359 KachelY + 1 81870 -2.35739291 -0.71342325 -135.068664 -40.876141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71338701--0.71342325) × R
    3.62399999999097e-05 × 6371000     		dl = 230.885039999425m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71338701--0.71342325) × R
    3.62399999999097e-05 × 6371000     		dr = 230.885039999425m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35744085--2.35739291) × cos(-0.71338701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756149762813252 × 6371000     		do = 230.947600857911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35744085--2.35739291) × cos(-0.71342325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.756126046911218 × 6371000     		du = 230.940357410982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71338701)-sin(-0.71342325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756149762813252-0.756126046911218)×R²
    abs(-2.35739291--2.35744085)×2.37159020345379e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37159020345379e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37159020345379e-05×40589641000000     		ar = 53321.509865791m²