Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16356 / 81868
↖ ↑ ↗
← S 40.871988°
W135.076904°		 ← 230.91 m → S 40.871988°
W135.074158°		 →
↑
230.95 m
↓
↑
230.95 m
↓
S 40.874065°
W135.076904°		 ← 230.90 m →
53 327 m²		 S 40.874065°
W135.074158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124790191650391 y=0.624607086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124790191650391 × 217)
    floor (0.124790191650391 × 131072)
    floor (16356.5)     		tx = 16356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624607086181641 × 217)
    floor (0.624607086181641 × 131072)
    floor (81868.5)     		ty = 81868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16356 / 81868 ti = "17/16356/81868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16356/81868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16356 ÷ 217
    16356 ÷ 131072     		x = 0.124786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81868 ÷ 217
    81868 ÷ 131072     		y = 0.624603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.75042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35753672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.24920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.782905444594757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35753672} λ = -2.35753672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782905444594757))-π/2
    2×atan(0.457076071006968)-π/2
    2×0.428722784311318-π/2
    0.857445568622637-1.57079632675     		φ = -0.71335076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35753672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.076904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71335076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.871988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16356 KachelY 81868 -2.35753672 -0.71335076 -135.076904 -40.871988
    Oben rechts KachelX + 1 16357 KachelY 81868 -2.35748879 -0.71335076 -135.074158 -40.871988
    Unten links KachelX 16356 KachelY + 1 81869 -2.35753672 -0.71338701 -135.076904 -40.874065
    Unten rechts KachelX + 1 16357 KachelY + 1 81869 -2.35748879 -0.71338701 -135.074158 -40.874065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71335076--0.71338701) × R
    3.62500000000709e-05 × 6371000     		dl = 230.948750000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71335076--0.71338701) × R
    3.62500000000709e-05 × 6371000     		dr = 230.948750000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35753672--2.35748879) × cos(-0.71335076) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756173484265919 × 6371000     		do = 230.906670187755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35753672--2.35748879) × cos(-0.71338701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.756149762813252 × 6371000     		du = 230.899426556815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71335076)-sin(-0.71338701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756173484265919-0.756149762813252)×R²
    abs(-2.35748879--2.35753672)×2.3721452666603e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3721452666603e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3721452666603e-05×40589641000000     		ar = 53326.7703987421m²