Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1635 / 820
↖ ↑ ↗
← N 33.724340°
E107.402344°		 ← 16.257 km → N 33.724340°
E107.578125°		 →
↑
16.271 km
↓
↑
16.271 km
↓
N 33.578015°
E107.402344°		 ← 16.284 km →
264.733 km²		 N 33.578015°
E107.578125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798583984375 y=0.400634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798583984375 × 211)
    floor (0.798583984375 × 2048)
    floor (1635.5)     		tx = 1635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400634765625 × 211)
    floor (0.400634765625 × 2048)
    floor (820.5)     		ty = 820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1635 / 820 ti = "11/1635/820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1635/820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1635 ÷ 211
    1635 ÷ 2048     		x = 0.79833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 820 ÷ 211
    820 ÷ 2048     		y = 0.400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79833984375 × 2 - 1) × π
    0.5966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.87452452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400390625 × 2 - 1) × π
    0.19921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.625864161439453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87452452} λ = 1.87452452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.625864161439453))-π/2
    2×atan(1.86986112132871)-π/2
    2×1.07969854596921-π/2
    2.15939709193842-1.57079632675     		φ = 0.58860077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87452452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.402344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58860077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.724340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1635 KachelY 820 1.87452452 0.58860077 107.402344 33.724340
    Oben rechts KachelX + 1 1636 KachelY 820 1.87759248 0.58860077 107.578125 33.724340
    Unten links KachelX 1635 KachelY + 1 821 1.87452452 0.58604691 107.402344 33.578015
    Unten rechts KachelX + 1 1636 KachelY + 1 821 1.87759248 0.58604691 107.578125 33.578015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58860077-0.58604691) × R
    0.00255386000000002 × 6371000     		dl = 16270.6420600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58860077-0.58604691) × R
    0.00255386000000002 × 6371000     		dr = 16270.6420600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87452452-1.87759248) × cos(0.58860077) × R
    0.00306795999999987 × 0.831718342454006 × 6371000     		do = 16256.744398285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87452452-1.87759248) × cos(0.58604691) × R
    0.00306795999999987 × 0.833133526054537 × 6371000     		du = 16284.4055389575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58860077)-sin(0.58604691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831718342454006-0.833133526054537)×R²
    abs(1.87759248-1.87452452)×0.0014151836005315×R²
    0.00306795999999987×0.0014151836005315×6371000²
    0.00306795999999987×0.0014151836005315×40589641000000     		ar = 264732845.311576m²