Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16347 / 15626
↖ ↑ ↗
← N 79.555569°
W135.101624°		 ← 55.37 m → N 79.555569°
W135.098877°		 →
↑
55.36 m
↓
↑
55.36 m
↓
N 79.555071°
W135.101624°		 ← 55.37 m →
3 065 m²		 N 79.555071°
W135.098877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124721527099609 y=0.119220733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124721527099609 × 217)
    floor (0.124721527099609 × 131072)
    floor (16347.5)     		tx = 16347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119220733642578 × 217)
    floor (0.119220733642578 × 131072)
    floor (15626.5)     		ty = 15626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16347 / 15626 ti = "17/16347/15626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16347/15626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16347 ÷ 217
    16347 ÷ 131072     		x = 0.124717712402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15626 ÷ 217
    15626 ÷ 131072     		y = 0.119216918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124717712402344 × 2 - 1) × π
    -0.750564575195312 × 3.1415926535     		Λ = -2.35796816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119216918945312 × 2 - 1) × π
    0.761566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.392530660037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35796816} λ = -2.35796816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.392530660037))-π/2
    2×atan(10.9411472618439)-π/2
    2×1.47965146668133-π/2
    2.95930293336266-1.57079632675     		φ = 1.38850661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35796816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.101624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38850661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.555569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16347 KachelY 15626 -2.35796816 1.38850661 -135.101624 79.555569
    Oben rechts KachelX + 1 16348 KachelY 15626 -2.35792022 1.38850661 -135.098877 79.555569
    Unten links KachelX 16347 KachelY + 1 15627 -2.35796816 1.38849792 -135.101624 79.555071
    Unten rechts KachelX + 1 16348 KachelY + 1 15627 -2.35792022 1.38849792 -135.098877 79.555071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38850661-1.38849792) × R
    8.69000000003339e-06 × 6371000     		dl = 55.3639900002128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38850661-1.38849792) × R
    8.69000000003339e-06 × 6371000     		dr = 55.3639900002128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35796816--2.35792022) × cos(1.38850661) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181281825576136 × 6371000     		do = 55.3681357251061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35796816--2.35792022) × cos(1.38849792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181290371586307 × 6371000     		du = 55.3707458965866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38850661)-sin(1.38849792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181281825576136-0.181290371586307)×R²
    abs(-2.35792022--2.35796816)×8.54601017077905e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.54601017077905e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.54601017077905e-06×40589641000000     		ar = 3065.47316722981m²