Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16341 / 15629
↖ ↑ ↗
← N 79.554074°
W135.118103°		 ← 55.38 m → N 79.554074°
W135.115356°		 →
↑
55.36 m
↓
↑
55.36 m
↓
N 79.553576°
W135.118103°		 ← 55.38 m →
3 066 m²		 N 79.553576°
W135.115356°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124675750732422 y=0.119243621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124675750732422 × 217)
    floor (0.124675750732422 × 131072)
    floor (16341.5)     		tx = 16341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119243621826172 × 217)
    floor (0.119243621826172 × 131072)
    floor (15629.5)     		ty = 15629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16341 / 15629 ti = "17/16341/15629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16341/15629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16341 ÷ 217
    16341 ÷ 131072     		x = 0.124671936035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15629 ÷ 217
    15629 ÷ 131072     		y = 0.119239807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124671936035156 × 2 - 1) × π
    -0.750656127929688 × 3.1415926535     		Λ = -2.35825578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119239807128906 × 2 - 1) × π
    0.761520385742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.39238684933814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35825578} λ = -2.35825578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39238684933814))-π/2
    2×atan(10.9395739209442)-π/2
    2×1.47963843062626-π/2
    2.95927686125253-1.57079632675     		φ = 1.38848053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35825578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.118103°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38848053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.554074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16341 KachelY 15629 -2.35825578 1.38848053 -135.118103 79.554074
    Oben rechts KachelX + 1 16342 KachelY 15629 -2.35820784 1.38848053 -135.115356 79.554074
    Unten links KachelX 16341 KachelY + 1 15630 -2.35825578 1.38847184 -135.118103 79.553576
    Unten rechts KachelX + 1 16342 KachelY + 1 15630 -2.35820784 1.38847184 -135.115356 79.553576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38848053-1.38847184) × R
    8.69000000003339e-06 × 6371000     		dl = 55.3639900002128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38848053-1.38847184) × R
    8.69000000003339e-06 × 6371000     		dr = 55.3639900002128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35825578--2.35820784) × cos(1.38848053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181307473399842 × 6371000     		do = 55.3759692306406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35825578--2.35820784) × cos(1.38847184) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181316019368924 × 6371000     		du = 55.3785793895715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38848053)-sin(1.38847184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181307473399842-0.181316019368924)×R²
    abs(-2.35820784--2.35825578)×8.54596908206329e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.54596908206329e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.54596908206329e-06×40589641000000     		ar = 3065.90686116633m²