Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16331 / 15620
↖ ↑ ↗
← N 79.558555°
W135.145569°		 ← 55.35 m → N 79.558555°
W135.142822°		 →
↑
55.36 m
↓
↑
55.36 m
↓
N 79.558058°
W135.145569°		 ← 55.36 m →
3 065 m²		 N 79.558058°
W135.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124599456787109 y=0.119174957275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124599456787109 × 217)
    floor (0.124599456787109 × 131072)
    floor (16331.5)     		tx = 16331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119174957275391 × 217)
    floor (0.119174957275391 × 131072)
    floor (15620.5)     		ty = 15620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16331 / 15620 ti = "17/16331/15620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16331/15620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16331 ÷ 217
    16331 ÷ 131072     		x = 0.124595642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15620 ÷ 217
    15620 ÷ 131072     		y = 0.119171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124595642089844 × 2 - 1) × π
    -0.750808715820312 × 3.1415926535     		Λ = -2.35873515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119171142578125 × 2 - 1) × π
    0.76165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39281828143472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35873515} λ = -2.35873515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39281828143472))-π/2
    2×atan(10.9442946225144)-π/2
    2×1.47967753326111-π/2
    2.95935506652222-1.57079632675     		φ = 1.38855874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35873515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.145569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38855874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.558555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16331 KachelY 15620 -2.35873515 1.38855874 -135.145569 79.558555
    Oben rechts KachelX + 1 16332 KachelY 15620 -2.35868721 1.38855874 -135.142822 79.558555
    Unten links KachelX 16331 KachelY + 1 15621 -2.35873515 1.38855005 -135.145569 79.558058
    Unten rechts KachelX + 1 16332 KachelY + 1 15621 -2.35868721 1.38855005 -135.142822 79.558058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38855874-1.38855005) × R
    8.68999999981135e-06 × 6371000     		dl = 55.3639899987981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38855874-1.38855005) × R
    8.68999999981135e-06 × 6371000     		dr = 55.3639899987981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35873515--2.35868721) × cos(1.38855874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181230559062058 × 6371000     		do = 55.3524776121063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35873515--2.35868721) × cos(1.38855005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181239105154341 × 6371000     		du = 55.3550878086661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38855874)-sin(1.38855005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181230559062058-0.181239105154341)×R²
    abs(-2.35868721--2.35873515)×8.54609228331804e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.54609228331804e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.54609228331804e-06×40589641000000     		ar = 3064.60627234789m²