Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16329 / 8065
↖ ↑ ↗
← N 67.063152°
W  0.604248°		 ← 476.09 m → N 67.063152°
W  0.593262°		 →
↑
476.10 m
↓
↑
476.10 m
↓
N 67.058870°
W  0.604248°		 ← 476.18 m →
226 690 m²		 N 67.058870°
W  0.593262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498336791992188 y=0.246139526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498336791992188 × 215)
    floor (0.498336791992188 × 32768)
    floor (16329.5)     		tx = 16329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246139526367188 × 215)
    floor (0.246139526367188 × 32768)
    floor (8065.5)     		ty = 8065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16329 / 8065 ti = "15/16329/8065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16329/8065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16329 ÷ 215
    16329 ÷ 32768     		x = 0.498321533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8065 ÷ 215
    8065 ÷ 32768     		y = 0.246124267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498321533203125 × 2 - 1) × π
    -0.00335693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01054612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246124267578125 × 2 - 1) × π
    0.50775146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59514827175699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01054612} λ = -0.01054612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59514827175699))-π/2
    2×atan(4.9290598583058)-π/2
    2×1.37063456952433-π/2
    2.74126913904865-1.57079632675     		φ = 1.17047281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01054612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.604248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17047281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.063152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16329 KachelY 8065 -0.01054612 1.17047281 -0.604248 67.063152
    Oben rechts KachelX + 1 16330 KachelY 8065 -0.01035437 1.17047281 -0.593262 67.063152
    Unten links KachelX 16329 KachelY + 1 8066 -0.01054612 1.17039808 -0.604248 67.058870
    Unten rechts KachelX + 1 16330 KachelY + 1 8066 -0.01035437 1.17039808 -0.593262 67.058870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17047281-1.17039808) × R
    7.47299999999118e-05 × 6371000     		dl = 476.104829999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17047281-1.17039808) × R
    7.47299999999118e-05 × 6371000     		dr = 476.104829999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01054612--0.01035437) × cos(1.17047281) × R
    0.000191750000000001 × 0.389716300625268 × 6371000     		do = 476.09272920863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01054612--0.01035437) × cos(1.17039808) × R
    0.000191750000000001 × 0.389785121006747 × 6371000     		du = 476.176802887844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17047281)-sin(1.17039808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389716300625268-0.389785121006747)×R²
    abs(-0.01035437--0.01054612)×6.88203814787069e-05×R²
    0.000191750000000001×6.88203814787069e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.88203814787069e-05×40589641000000     		ar = 226690.061952324m²