Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16328 / 19143
↖ ↑ ↗
← S 28.988922°
W  0.615235°		 ← 1 068.58 m → S 28.988922°
W  0.604248°		 →
↑
1 068.54 m
↓
↑
1 068.54 m
↓
S 28.998532°
W  0.615235°		 ← 1 068.48 m →
1 141 776 m²		 S 28.998532°
W  0.604248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19143 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498306274414062 y=0.584213256835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498306274414062 × 215)
    floor (0.498306274414062 × 32768)
    floor (16328.5)     		tx = 16328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584213256835938 × 215)
    floor (0.584213256835938 × 32768)
    floor (19143.5)     		ty = 19143
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16328 / 19143 ti = "15/16328/19143"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16328/19143.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16328 ÷ 215
    16328 ÷ 32768     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19143 ÷ 215
    19143 ÷ 32768     		y = 0.584197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584197998046875 × 2 - 1) × π
    -0.16839599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.52903162420694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52903162420694))-π/2
    2×atan(0.589175236554422)-π/2
    2×0.532422092406676-π/2
    1.06484418481335-1.57079632675     		φ = -0.50595214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50595214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.988922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16328 KachelY 19143 -0.01073787 -0.50595214 -0.615235 -28.988922
    Oben rechts KachelX + 1 16329 KachelY 19143 -0.01054612 -0.50595214 -0.604248 -28.988922
    Unten links KachelX 16328 KachelY + 1 19144 -0.01073787 -0.50611986 -0.615235 -28.998532
    Unten rechts KachelX + 1 16329 KachelY + 1 19144 -0.01054612 -0.50611986 -0.604248 -28.998532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50595214--0.50611986) × R
    0.000167719999999982 × 6371000     		dl = 1068.54411999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50595214--0.50611986) × R
    0.000167719999999982 × 6371000     		dr = 1068.54411999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.01054612) × cos(-0.50595214) × R
    0.000191749999999999 × 0.874713425375888 × 6371000     		do = 1068.58425294113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.01054612) × cos(-0.50611986) × R
    0.000191749999999999 × 0.874632129167169 × 6371000     		du = 1068.48493830168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50595214)-sin(-0.50611986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874713425375888-0.874632129167169)×R²
    abs(-0.01054612--0.01073787)×8.1296208718995e-05×R²
    0.000191749999999999×8.1296208718995e-05×6371000²
    0.000191749999999999×8.1296208718995e-05×40589641000000     		ar = 1141776.36184409m²