Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16328 / 15687
↖ ↑ ↗
← N 79.525153°
W135.153809°		 ← 55.53 m → N 79.525153°
W135.151062°		 →
↑
55.56 m
↓
↑
55.56 m
↓
N 79.524653°
W135.153809°		 ← 55.53 m →
3 085 m²		 N 79.524653°
W135.151062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124576568603516 y=0.119686126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124576568603516 × 217)
    floor (0.124576568603516 × 131072)
    floor (16328.5)     		tx = 16328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119686126708984 × 217)
    floor (0.119686126708984 × 131072)
    floor (15687.5)     		ty = 15687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16328 / 15687 ti = "17/16328/15687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16328/15687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16328 ÷ 217
    16328 ÷ 131072     		x = 0.12457275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15687 ÷ 217
    15687 ÷ 131072     		y = 0.119682312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.7508544921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35887896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119682312011719 × 2 - 1) × π
    0.760635375976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.38960650916018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35887896} λ = -2.35887896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38960650916018))-π/2
    2×atan(10.9092004279298)-π/2
    2×1.47938603751967-π/2
    2.95877207503934-1.57079632675     		φ = 1.38797575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35887896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38797575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.525153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16328 KachelY 15687 -2.35887896 1.38797575 -135.153809 79.525153
    Oben rechts KachelX + 1 16329 KachelY 15687 -2.35883102 1.38797575 -135.151062 79.525153
    Unten links KachelX 16328 KachelY + 1 15688 -2.35887896 1.38796703 -135.153809 79.524653
    Unten rechts KachelX + 1 16329 KachelY + 1 15688 -2.35883102 1.38796703 -135.151062 79.524653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38797575-1.38796703) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dl = 55.5551200004658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38797575-1.38796703) × R
    8.72000000007311e-06 × 6371000     		dr = 55.5551200004658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35887896--2.35883102) × cos(1.38797575) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.18180386428786 × 6371000     		do = 55.5275797854573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35887896--2.35883102) × cos(1.38796703) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.18181243896052 × 6371000     		du = 55.5301987111996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38797575)-sin(1.38796703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18180386428786-0.18181243896052)×R²
    abs(-2.35883102--2.35887896)×8.57467265935608e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.57467265935608e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.57467265935608e-06×40589641000000     		ar = 3084.91410566863m²