Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16324 / 8069
↖ ↑ ↗
← N 67.046020°
W  0.659180°		 ← 476.43 m → N 67.046020°
W  0.648193°		 →
↑
476.49 m
↓
↑
476.49 m
↓
N 67.041735°
W  0.659180°		 ← 476.51 m →
227 032 m²		 N 67.041735°
W  0.648193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498184204101562 y=0.246261596679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498184204101562 × 215)
    floor (0.498184204101562 × 32768)
    floor (16324.5)     		tx = 16324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246261596679688 × 215)
    floor (0.246261596679688 × 32768)
    floor (8069.5)     		ty = 8069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16324 / 8069 ti = "15/16324/8069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16324/8069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16324 ÷ 215
    16324 ÷ 32768     		x = 0.4981689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8069 ÷ 215
    8069 ÷ 32768     		y = 0.246246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4981689453125 × 2 - 1) × π
    -0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246246337890625 × 2 - 1) × π
    0.50750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59438128136307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01150486} λ = -0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59438128136307))-π/2
    2×atan(4.92528076619236)-π/2
    2×1.37048506240205-π/2
    2.7409701248041-1.57079632675     		φ = 1.17017380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17017380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.046020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16324 KachelY 8069 -0.01150486 1.17017380 -0.659180 67.046020
    Oben rechts KachelX + 1 16325 KachelY 8069 -0.01131311 1.17017380 -0.648193 67.046020
    Unten links KachelX 16324 KachelY + 1 8070 -0.01150486 1.17009901 -0.659180 67.041735
    Unten rechts KachelX + 1 16325 KachelY + 1 8070 -0.01131311 1.17009901 -0.648193 67.041735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17017380-1.17009901) × R
    7.47899999999913e-05 × 6371000     		dl = 476.487089999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17017380-1.17009901) × R
    7.47899999999913e-05 × 6371000     		dr = 476.487089999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01150486--0.01131311) × cos(1.17017380) × R
    0.000191750000000001 × 0.389991651962603 × 6371000     		do = 476.429109209857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01150486--0.01131311) × cos(1.17009901) × R
    0.000191750000000001 × 0.390060518879373 × 6371000     		du = 476.51323973841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17017380)-sin(1.17009901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389991651962603-0.390060518879373)×R²
    abs(-0.01131311--0.01150486)×6.8866916770105e-05×R²
    0.000191750000000001×6.8866916770105e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.8866916770105e-05×40589641000000     		ar = 227032.36349934m²