Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16323 / 8070
↖ ↑ ↗
← N 67.041735°
W  0.670166°		 ← 476.49 m → N 67.041735°
W  0.659180°		 →
↑
476.55 m
↓
↑
476.55 m
↓
N 67.037449°
W  0.670166°		 ← 476.57 m →
227 091 m²		 N 67.037449°
W  0.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16323 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498153686523438 y=0.246292114257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498153686523438 × 215)
    floor (0.498153686523438 × 32768)
    floor (16323.5)     		tx = 16323
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246292114257812 × 215)
    floor (0.246292114257812 × 32768)
    floor (8070.5)     		ty = 8070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16323 / 8070 ti = "15/16323/8070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16323/8070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16323 ÷ 215
    16323 ÷ 32768     		x = 0.498138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8070 ÷ 215
    8070 ÷ 32768     		y = 0.24627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498138427734375 × 2 - 1) × π
    -0.00372314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01169660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24627685546875 × 2 - 1) × π
    0.5074462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59418953376459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01169660} λ = -0.01169660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59418953376459))-π/2
    2×atan(4.92433644597206)-π/2
    2×1.37044766911949-π/2
    2.74089533823899-1.57079632675     		φ = 1.17009901
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01169660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.670166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17009901 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.041735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16323 KachelY 8070 -0.01169660 1.17009901 -0.670166 67.041735
    Oben rechts KachelX + 1 16324 KachelY 8070 -0.01150486 1.17009901 -0.659180 67.041735
    Unten links KachelX 16323 KachelY + 1 8071 -0.01169660 1.17002421 -0.670166 67.037449
    Unten rechts KachelX + 1 16324 KachelY + 1 8071 -0.01150486 1.17002421 -0.659180 67.037449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17009901-1.17002421) × R
    7.47999999999305e-05 × 6371000     		dl = 476.550799999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17009901-1.17002421) × R
    7.47999999999305e-05 × 6371000     		dr = 476.550799999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01169660--0.01150486) × cos(1.17009901) × R
    0.000191739999999999 × 0.390060518879373 × 6371000     		do = 476.488388982748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01169660--0.01150486) × cos(1.17002421) × R
    0.000191739999999999 × 0.390129392821923 × 6371000     		du = 476.57252370631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17009901)-sin(1.17002421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390060518879373-0.390129392821923)×R²
    abs(-0.01150486--0.01169660)×6.88739425497853e-05×R²
    0.000191739999999999×6.88739425497853e-05×6371000²
    0.000191739999999999×6.88739425497853e-05×40589641000000     		ar = 227090.970301551m²