Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16319 / 8062
↖ ↑ ↗
← N 67.075993°
W  0.714111°		 ← 475.82 m → N 67.075993°
W  0.703125°		 →
↑
475.85 m
↓
↑
475.85 m
↓
N 67.071714°
W  0.714111°		 ← 475.90 m →
226 437 m²		 N 67.071714°
W  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498031616210938 y=0.246047973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498031616210938 × 215)
    floor (0.498031616210938 × 32768)
    floor (16319.5)     		tx = 16319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246047973632812 × 215)
    floor (0.246047973632812 × 32768)
    floor (8062.5)     		ty = 8062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16319 / 8062 ti = "15/16319/8062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16319/8062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16319 ÷ 215
    16319 ÷ 32768     		x = 0.498016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8062 ÷ 215
    8062 ÷ 32768     		y = 0.24603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498016357421875 × 2 - 1) × π
    -0.00396728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01246359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24603271484375 × 2 - 1) × π
    0.5079345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.59572351455243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01246359} λ = -0.01246359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59572351455243))-π/2
    2×atan(4.93189608015747)-π/2
    2×1.37074663058447-π/2
    2.74149326116894-1.57079632675     		φ = 1.17069693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01246359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.714111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17069693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.075993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16319 KachelY 8062 -0.01246359 1.17069693 -0.714111 67.075993
    Oben rechts KachelX + 1 16320 KachelY 8062 -0.01227185 1.17069693 -0.703125 67.075993
    Unten links KachelX 16319 KachelY + 1 8063 -0.01246359 1.17062224 -0.714111 67.071714
    Unten rechts KachelX + 1 16320 KachelY + 1 8063 -0.01227185 1.17062224 -0.703125 67.071714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17069693-1.17062224) × R
    7.46900000001549e-05 × 6371000     		dl = 475.849990000987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17069693-1.17062224) × R
    7.46900000001549e-05 × 6371000     		dr = 475.849990000987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01246359--0.01227185) × cos(1.17069693) × R
    0.000191739999999999 × 0.389509890895535 × 6371000     		do = 475.815755306053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01246359--0.01227185) × cos(1.17062224) × R
    0.000191739999999999 × 0.389578680963293 × 6371000     		du = 475.899787570221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17069693)-sin(1.17062224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389509890895535-0.389578680963293)×R²
    abs(-0.01227185--0.01246359)×6.87900677582287e-05×R²
    0.000191739999999999×6.87900677582287e-05×6371000²
    0.000191739999999999×6.87900677582287e-05×40589641000000     		ar = 226436.915885838m²