Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16318 / 8061
↖ ↑ ↗
← N 67.080273°
W  0.725098°		 ← 475.76 m → N 67.080273°
W  0.714111°		 →
↑
475.85 m
↓
↑
475.85 m
↓
N 67.075993°
W  0.725098°		 ← 475.84 m →
226 409 m²		 N 67.075993°
W  0.714111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498001098632812 y=0.246017456054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498001098632812 × 215)
    floor (0.498001098632812 × 32768)
    floor (16318.5)     		tx = 16318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246017456054688 × 215)
    floor (0.246017456054688 × 32768)
    floor (8061.5)     		ty = 8061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16318 / 8061 ti = "15/16318/8061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16318/8061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16318 ÷ 215
    16318 ÷ 32768     		x = 0.49798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8061 ÷ 215
    8061 ÷ 32768     		y = 0.246002197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246002197265625 × 2 - 1) × π
    0.50799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59591526215091
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01265534} λ = -0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59591526215091))-π/2
    2×atan(4.93284185005845)-π/2
    2×1.3707839710798-π/2
    2.74156794215959-1.57079632675     		φ = 1.17077162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17077162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.080273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16318 KachelY 8061 -0.01265534 1.17077162 -0.725098 67.080273
    Oben rechts KachelX + 1 16319 KachelY 8061 -0.01246359 1.17077162 -0.714111 67.080273
    Unten links KachelX 16318 KachelY + 1 8062 -0.01265534 1.17069693 -0.725098 67.075993
    Unten rechts KachelX + 1 16319 KachelY + 1 8062 -0.01246359 1.17069693 -0.714111 67.075993
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17077162-1.17069693) × R
    7.46899999999329e-05 × 6371000     		dl = 475.849989999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17077162-1.17069693) × R
    7.46899999999329e-05 × 6371000     		dr = 475.849989999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01265534--0.01246359) × cos(1.17077162) × R
    0.000191749999999999 × 0.389441098654859 × 6371000     		do = 475.756531679896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01265534--0.01246359) × cos(1.17069693) × R
    0.000191749999999999 × 0.389509890895535 × 6371000     		du = 475.840570981202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17077162)-sin(1.17069693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389441098654859-0.389509890895535)×R²
    abs(-0.01246359--0.01265534)×6.87922406764629e-05×R²
    0.000191749999999999×6.87922406764629e-05×6371000²
    0.000191749999999999×6.87922406764629e-05×40589641000000     		ar = 226408.735997919m²