Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16314 / 8057
↖ ↑ ↗
← N 67.097381°
W  0.769043°		 ← 475.42 m → N 67.097381°
W  0.758056°		 →
↑
475.47 m
↓
↑
475.47 m
↓
N 67.093105°
W  0.769043°		 ← 475.50 m →
226 067 m²		 N 67.093105°
W  0.758056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497879028320312 y=0.245895385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497879028320312 × 215)
    floor (0.497879028320312 × 32768)
    floor (16314.5)     		tx = 16314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245895385742188 × 215)
    floor (0.245895385742188 × 32768)
    floor (8057.5)     		ty = 8057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16314 / 8057 ti = "15/16314/8057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16314/8057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16314 ÷ 215
    16314 ÷ 32768     		x = 0.49786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8057 ÷ 215
    8057 ÷ 32768     		y = 0.245880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.0042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01342233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245880126953125 × 2 - 1) × π
    0.50823974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59668225254483
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01342233} λ = -0.01342233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59668225254483))-π/2
    2×atan(4.93662674367515)-π/2
    2×1.37093326712967-π/2
    2.74186653425934-1.57079632675     		φ = 1.17107021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01342233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17107021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.097381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16314 KachelY 8057 -0.01342233 1.17107021 -0.769043 67.097381
    Oben rechts KachelX + 1 16315 KachelY 8057 -0.01323058 1.17107021 -0.758056 67.097381
    Unten links KachelX 16314 KachelY + 1 8058 -0.01342233 1.17099558 -0.769043 67.093105
    Unten rechts KachelX + 1 16315 KachelY + 1 8058 -0.01323058 1.17099558 -0.758056 67.093105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17107021-1.17099558) × R
    7.46299999998534e-05 × 6371000     		dl = 475.467729999066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17107021-1.17099558) × R
    7.46299999998534e-05 × 6371000     		dr = 475.467729999066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01342233--0.01323058) × cos(1.17107021) × R
    0.000191749999999999 × 0.389166064569145 × 6371000     		do = 475.4205392457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01342233--0.01323058) × cos(1.17099558) × R
    0.000191749999999999 × 0.389234810224402 × 6371000     		du = 475.504521636429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17107021)-sin(1.17099558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389166064569145-0.389234810224402)×R²
    abs(-0.01323058--0.01342233)×6.87456552567745e-05×R²
    0.000191749999999999×6.87456552567745e-05×6371000²
    0.000191749999999999×6.87456552567745e-05×40589641000000     		ar = 226067.090152815m²