Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16313 / 7994
↖ ↑ ↗
← N 67.365243°
W  0.780029°		 ← 470.15 m → N 67.365243°
W  0.769043°		 →
↑
470.18 m
↓
↑
470.18 m
↓
N 67.361014°
W  0.780029°		 ← 470.24 m →
221 077 m²		 N 67.361014°
W  0.769043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497848510742188 y=0.243972778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497848510742188 × 215)
    floor (0.497848510742188 × 32768)
    floor (16313.5)     		tx = 16313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.243972778320312 × 215)
    floor (0.243972778320312 × 32768)
    floor (7994.5)     		ty = 7994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16313 / 7994 ti = "15/16313/7994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16313/7994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16313 ÷ 215
    16313 ÷ 32768     		x = 0.497833251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7994 ÷ 215
    7994 ÷ 32768     		y = 0.24395751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497833251953125 × 2 - 1) × π
    -0.00433349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01361408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24395751953125 × 2 - 1) × π
    0.5120849609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.60876235124908
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01361408} λ = -0.01361408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60876235124908))-π/2
    2×atan(4.99662333477532)-π/2
    2×1.3732708108182-π/2
    2.74654162163639-1.57079632675     		φ = 1.17574529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01361408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.780029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17574529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.365243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16313 KachelY 7994 -0.01361408 1.17574529 -0.780029 67.365243
    Oben rechts KachelX + 1 16314 KachelY 7994 -0.01342233 1.17574529 -0.769043 67.365243
    Unten links KachelX 16313 KachelY + 1 7995 -0.01361408 1.17567149 -0.780029 67.361014
    Unten rechts KachelX + 1 16314 KachelY + 1 7995 -0.01342233 1.17567149 -0.769043 67.361014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17574529-1.17567149) × R
    7.38000000000127e-05 × 6371000     		dl = 470.179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17574529-1.17567149) × R
    7.38000000000127e-05 × 6371000     		dr = 470.179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01361408--0.01342233) × cos(1.17574529) × R
    0.000191750000000001 × 0.384855295093405 × 6371000     		do = 470.154334056438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01361408--0.01342233) × cos(1.17567149) × R
    0.000191750000000001 × 0.384923409742273 × 6371000     		du = 470.237545584995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17574529)-sin(1.17567149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384855295093405-0.384923409742273)×R²
    abs(-0.01342233--0.01361408)×6.81146488678563e-05×R²
    0.000191750000000001×6.81146488678563e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.81146488678563e-05×40589641000000     		ar = 221076.633045717m²