Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16313 / 17209
↖ ↑ ↗
← N 78.737256°
W135.195007°		 ← 59.65 m → N 78.737256°
W135.192261°		 →
↑
59.63 m
↓
↑
59.63 m
↓
N 78.736720°
W135.195007°		 ← 59.66 m →
3 557 m²		 N 78.736720°
W135.192261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124462127685547 y=0.131298065185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124462127685547 × 217)
    floor (0.124462127685547 × 131072)
    floor (16313.5)     		tx = 16313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131298065185547 × 217)
    floor (0.131298065185547 × 131072)
    floor (17209.5)     		ty = 17209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16313 / 17209 ti = "17/16313/17209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16313/17209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16313 ÷ 217
    16313 ÷ 131072     		x = 0.124458312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17209 ÷ 217
    17209 ÷ 131072     		y = 0.131294250488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124458312988281 × 2 - 1) × π
    -0.751083374023438 × 3.1415926535     		Λ = -2.35959801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131294250488281 × 2 - 1) × π
    0.737411499023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.31664654793845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35959801} λ = -2.35959801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31664654793845))-π/2
    2×atan(10.1416078221793)-π/2
    2×1.47251034521241-π/2
    2.94502069042483-1.57079632675     		φ = 1.37422436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35959801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.195007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37422436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.737256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16313 KachelY 17209 -2.35959801 1.37422436 -135.195007 78.737256
    Oben rechts KachelX + 1 16314 KachelY 17209 -2.35955007 1.37422436 -135.192261 78.737256
    Unten links KachelX 16313 KachelY + 1 17210 -2.35959801 1.37421500 -135.195007 78.736720
    Unten rechts KachelX + 1 16314 KachelY + 1 17210 -2.35955007 1.37421500 -135.192261 78.736720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37422436-1.37421500) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dl = 59.6325599997343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37422436-1.37421500) × R
    9.35999999995829e-06 × 6371000     		dr = 59.6325599997343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35959801--2.35955007) × cos(1.37422436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.195308469281809 × 6371000     		do = 59.6522337586245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35959801--2.35955007) × cos(1.37421500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19531764901709 × 6371000     		du = 59.655037486066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37422436)-sin(1.37421500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195308469281809-0.19531764901709)×R²
    abs(-2.35955007--2.35959801)×9.17973528197225e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.17973528197225e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.17973528197225e-06×40589641000000     		ar = 3557.29900546736m²