Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16312 / 8024
↖ ↑ ↗
← N 67.238062°
W  0.791016°		 ← 472.66 m → N 67.238062°
W  0.780029°		 →
↑
472.73 m
↓
↑
472.73 m
↓
N 67.233810°
W  0.791016°		 ← 472.74 m →
223 458 m²		 N 67.233810°
W  0.780029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497817993164062 y=0.244888305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497817993164062 × 215)
    floor (0.497817993164062 × 32768)
    floor (16312.5)     		tx = 16312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244888305664062 × 215)
    floor (0.244888305664062 × 32768)
    floor (8024.5)     		ty = 8024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16312 / 8024 ti = "15/16312/8024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16312/8024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16312 ÷ 215
    16312 ÷ 32768     		x = 0.497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8024 ÷ 215
    8024 ÷ 32768     		y = 0.244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.244873046875 × 2 - 1) × π
    0.51025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60300992329468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01380583} λ = -0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60300992329468))-π/2
    2×atan(4.96796313093708)-π/2
    2×1.37216094182104-π/2
    2.74432188364208-1.57079632675     		φ = 1.17352556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17352556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.238062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16312 KachelY 8024 -0.01380583 1.17352556 -0.791016 67.238062
    Oben rechts KachelX + 1 16313 KachelY 8024 -0.01361408 1.17352556 -0.780029 67.238062
    Unten links KachelX 16312 KachelY + 1 8025 -0.01380583 1.17345136 -0.791016 67.233810
    Unten rechts KachelX + 1 16313 KachelY + 1 8025 -0.01361408 1.17345136 -0.780029 67.233810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17352556-1.17345136) × R
    7.42000000000242e-05 × 6371000     		dl = 472.728200000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17352556-1.17345136) × R
    7.42000000000242e-05 × 6371000     		dr = 472.728200000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01380583--0.01361408) × cos(1.17352556) × R
    0.000191749999999999 × 0.386903104848635 × 6371000     		do = 472.656018829956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01380583--0.01361408) × cos(1.17345136) × R
    0.000191749999999999 × 0.386971525115381 × 6371000     		du = 472.739603713309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17352556)-sin(1.17345136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386903104848635-0.386971525115381)×R²
    abs(-0.01361408--0.01380583)×6.84202667466938e-05×R²
    0.000191749999999999×6.84202667466938e-05×6371000²
    0.000191749999999999×6.84202667466938e-05×40589641000000     		ar = 223457.585569035m²