Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16312 / 17064
↖ ↑ ↗
← N 78.814774°
W135.197754°		 ← 59.25 m → N 78.814774°
W135.195007°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.814241°
W135.197754°		 ← 59.25 m →
3 510 m²		 N 78.814241°
W135.195007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124454498291016 y=0.130191802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124454498291016 × 217)
    floor (0.124454498291016 × 131072)
    floor (16312.5)     		tx = 16312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130191802978516 × 217)
    floor (0.130191802978516 × 131072)
    floor (17064.5)     		ty = 17064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16312 / 17064 ti = "17/16312/17064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16312/17064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16312 ÷ 217
    16312 ÷ 131072     		x = 0.12445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17064 ÷ 217
    17064 ÷ 131072     		y = 0.13018798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.7510986328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35964595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13018798828125 × 2 - 1) × π
    0.7396240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32359739838336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35964595} λ = -2.35964595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32359739838336))-π/2
    2×atan(10.2123461824977)-π/2
    2×1.47318681660384-π/2
    2.94637363320768-1.57079632675     		φ = 1.37557731
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35964595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37557731 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.814774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16312 KachelY 17064 -2.35964595 1.37557731 -135.197754 78.814774
    Oben rechts KachelX + 1 16313 KachelY 17064 -2.35959801 1.37557731 -135.195007 78.814774
    Unten links KachelX 16312 KachelY + 1 17065 -2.35964595 1.37556801 -135.197754 78.814241
    Unten rechts KachelX + 1 16313 KachelY + 1 17065 -2.35959801 1.37556801 -135.195007 78.814241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37557731-1.37556801) × R
    9.29999999987885e-06 × 6371000     		dl = 59.2502999992281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37557731-1.37556801) × R
    9.29999999987885e-06 × 6371000     		dr = 59.2502999992281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35964595--2.35959801) × cos(1.37557731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193981396229599 × 6371000     		do = 59.2469114896195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35964595--2.35959801) × cos(1.37556801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193990519569643 × 6371000     		du = 59.2496979925039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37557731)-sin(1.37556801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193981396229599-0.193990519569643)×R²
    abs(-2.35959801--2.35964595)×9.12334004443682e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.12334004443682e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.12334004443682e-06×40589641000000     		ar = 3510.47983052025m²