Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16312 / 15705
↖ ↑ ↗
← N 79.516161°
W135.197754°		 ← 55.57 m → N 79.516161°
W135.195007°		 →
↑
55.56 m
↓
↑
55.56 m
↓
N 79.515661°
W135.197754°		 ← 55.58 m →
3 088 m²		 N 79.515661°
W135.195007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124454498291016 y=0.119823455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124454498291016 × 217)
    floor (0.124454498291016 × 131072)
    floor (16312.5)     		tx = 16312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119823455810547 × 217)
    floor (0.119823455810547 × 131072)
    floor (15705.5)     		ty = 15705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16312 / 15705 ti = "17/16312/15705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16312/15705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16312 ÷ 217
    16312 ÷ 131072     		x = 0.12445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15705 ÷ 217
    15705 ÷ 131072     		y = 0.119819641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.7510986328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35964595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119819641113281 × 2 - 1) × π
    0.760360717773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.38874364496702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35964595} λ = -2.35964595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38874364496702))-π/2
    2×atan(10.8997913294754)-π/2
    2×1.47930756821163-π/2
    2.95861513642325-1.57079632675     		φ = 1.38781881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35964595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.197754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38781881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.516161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16312 KachelY 15705 -2.35964595 1.38781881 -135.197754 79.516161
    Oben rechts KachelX + 1 16313 KachelY 15705 -2.35959801 1.38781881 -135.195007 79.516161
    Unten links KachelX 16312 KachelY + 1 15706 -2.35964595 1.38781009 -135.197754 79.515661
    Unten rechts KachelX + 1 16313 KachelY + 1 15706 -2.35959801 1.38781009 -135.195007 79.515661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38781881-1.38781009) × R
    8.71999999985107e-06 × 6371000     		dl = 55.5551199990512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38781881-1.38781009) × R
    8.71999999985107e-06 × 6371000     		dr = 55.5551199990512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35964595--2.35959801) × cos(1.38781881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181958186613887 × 6371000     		do = 55.5747137955682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35964595--2.35959801) × cos(1.38781009) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.181966761037634 × 6371000     		du = 55.5773326452859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38781881)-sin(1.38781009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181958186613887-0.181966761037634)×R²
    abs(-2.35959801--2.35964595)×8.5744237460772e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.5744237460772e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.5744237460772e-06×40589641000000     		ar = 3087.53263907088m²