Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16309 / 7907
↖ ↑ ↗
← N 67.730272°
W  0.823975°		 ← 462.96 m → N 67.730272°
W  0.812988°		 →
↑
462.98 m
↓
↑
462.98 m
↓
N 67.726108°
W  0.823975°		 ← 463.04 m →
214 361 m²		 N 67.726108°
W  0.812988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497726440429688 y=0.241317749023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497726440429688 × 215)
    floor (0.497726440429688 × 32768)
    floor (16309.5)     		tx = 16309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241317749023438 × 215)
    floor (0.241317749023438 × 32768)
    floor (7907.5)     		ty = 7907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16309 / 7907 ti = "15/16309/7907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16309/7907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16309 ÷ 215
    16309 ÷ 32768     		x = 0.497711181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7907 ÷ 215
    7907 ÷ 32768     		y = 0.241302490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497711181640625 × 2 - 1) × π
    -0.00457763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01438107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241302490234375 × 2 - 1) × π
    0.51739501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62544439231686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01438107} λ = -0.01438107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62544439231686))-π/2
    2×atan(5.08067634911091)-π/2
    2×1.37645628834821-π/2
    2.75291257669642-1.57079632675     		φ = 1.18211625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01438107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.823975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18211625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.730272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16309 KachelY 7907 -0.01438107 1.18211625 -0.823975 67.730272
    Oben rechts KachelX + 1 16310 KachelY 7907 -0.01418932 1.18211625 -0.812988 67.730272
    Unten links KachelX 16309 KachelY + 1 7908 -0.01438107 1.18204358 -0.823975 67.726108
    Unten rechts KachelX + 1 16310 KachelY + 1 7908 -0.01418932 1.18204358 -0.812988 67.726108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18211625-1.18204358) × R
    7.26699999999969e-05 × 6371000     		dl = 462.98056999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18211625-1.18204358) × R
    7.26699999999969e-05 × 6371000     		dr = 462.98056999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01438107--0.01418932) × cos(1.18211625) × R
    0.000191749999999999 × 0.378967275365366 × 6371000     		do = 462.961298051888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01438107--0.01418932) × cos(1.18204358) × R
    0.000191749999999999 × 0.379034523914701 × 6371000     		du = 463.043451519261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18211625)-sin(1.18204358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378967275365366-0.379034523914701)×R²
    abs(-0.01418932--0.01438107)×6.72485493350972e-05×R²
    0.000191749999999999×6.72485493350972e-05×6371000²
    0.000191749999999999×6.72485493350972e-05×40589641000000     		ar = 214361.103484314m²