Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16307 / 15499
↖ ↑ ↗
← N 79.618613°
W135.211487°		 ← 55.04 m → N 79.618613°
W135.208740°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.618118°
W135.211487°		 ← 55.04 m →
3 030 m²		 N 79.618118°
W135.208740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124416351318359 y=0.118251800537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124416351318359 × 217)
    floor (0.124416351318359 × 131072)
    floor (16307.5)     		tx = 16307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118251800537109 × 217)
    floor (0.118251800537109 × 131072)
    floor (15499.5)     		ty = 15499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16307 / 15499 ti = "17/16307/15499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16307/15499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16307 ÷ 217
    16307 ÷ 131072     		x = 0.124412536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15499 ÷ 217
    15499 ÷ 131072     		y = 0.118247985839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124412536621094 × 2 - 1) × π
    -0.751174926757812 × 3.1415926535     		Λ = -2.35988563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118247985839844 × 2 - 1) × π
    0.763504028320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.39861864628875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35988563} λ = -2.35988563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39861864628875))-π/2
    2×atan(11.0079599870689)-π/2
    2×1.48020163859614-π/2
    2.96040327719227-1.57079632675     		φ = 1.38960695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35988563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.211487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38960695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.618613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16307 KachelY 15499 -2.35988563 1.38960695 -135.211487 79.618613
    Oben rechts KachelX + 1 16308 KachelY 15499 -2.35983769 1.38960695 -135.208740 79.618613
    Unten links KachelX 16307 KachelY + 1 15500 -2.35988563 1.38959831 -135.211487 79.618118
    Unten rechts KachelX + 1 16308 KachelY + 1 15500 -2.35983769 1.38959831 -135.208740 79.618118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38960695-1.38959831) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dl = 55.0454399993194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38960695-1.38959831) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dr = 55.0454399993194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35988563--2.35983769) × cos(1.38960695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180199607378805 × 6371000     		do = 55.0375984313449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35988563--2.35983769) × cos(1.38959831) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180208105935826 × 6371000     		du = 55.040194109412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38960695)-sin(1.38959831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180199607378805-0.180208105935826)×R²
    abs(-2.35983769--2.35988563)×8.49855702111935e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.49855702111935e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.49855702111935e-06×40589641000000     		ar = 3029.6402623501m²