Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 16306 / 15498
↖ ↑ ↗
← N 79.619108°
W135.214233°		 ← 55.04 m → N 79.619108°
W135.211487°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.618613°
W135.214233°		 ← 55.04 m →
3 029 m²		 N 79.618613°
W135.211487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124408721923828 y=0.118244171142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124408721923828 × 217)
    floor (0.124408721923828 × 131072)
    floor (16306.5)     		tx = 16306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118244171142578 × 217)
    floor (0.118244171142578 × 131072)
    floor (15498.5)     		ty = 15498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16306 / 15498 ti = "17/16306/15498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16306/15498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16306 ÷ 217
    16306 ÷ 131072     		x = 0.124404907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15498 ÷ 217
    15498 ÷ 131072     		y = 0.118240356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124404907226562 × 2 - 1) × π
    -0.751190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.35993357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118240356445312 × 2 - 1) × π
    0.763519287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39866658318837
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35993357} λ = -2.35993357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39866658318837))-π/2
    2×atan(11.0084876871899)-π/2
    2×1.48020595759955-π/2
    2.96041191519909-1.57079632675     		φ = 1.38961559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35993357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.214233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38961559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.619108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16306 KachelY 15498 -2.35993357 1.38961559 -135.214233 79.619108
    Oben rechts KachelX + 1 16307 KachelY 15498 -2.35988563 1.38961559 -135.211487 79.619108
    Unten links KachelX 16306 KachelY + 1 15499 -2.35993357 1.38960695 -135.214233 79.618613
    Unten rechts KachelX + 1 16307 KachelY + 1 15499 -2.35988563 1.38960695 -135.211487 79.618613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38961559-1.38960695) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dl = 55.0454400007341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38961559-1.38960695) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dr = 55.0454400007341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35993357--2.35988563) × cos(1.38961559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180191108808332 × 6371000     		do = 55.0350027491692m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35993357--2.35988563) × cos(1.38960695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180199607378805 × 6371000     		du = 55.0375984313449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38961559)-sin(1.38960695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180191108808332-0.180199607378805)×R²
    abs(-2.35988563--2.35993357)×8.49857047316438e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.49857047316438e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.49857047316438e-06×40589641000000     		ar = 3029.49738198295m²