Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16303 / 7918
↖ ↑ ↗
← N 67.684429°
W  0.889893°		 ← 463.87 m → N 67.684429°
W  0.878906°		 →
↑
463.87 m
↓
↑
463.87 m
↓
N 67.680257°
W  0.889893°		 ← 463.95 m →
215 194 m²		 N 67.680257°
W  0.878906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497543334960938 y=0.241653442382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497543334960938 × 215)
    floor (0.497543334960938 × 32768)
    floor (16303.5)     		tx = 16303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241653442382812 × 215)
    floor (0.241653442382812 × 32768)
    floor (7918.5)     		ty = 7918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16303 / 7918 ti = "15/16303/7918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16303/7918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16303 ÷ 215
    16303 ÷ 32768     		x = 0.497528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7918 ÷ 215
    7918 ÷ 32768     		y = 0.24163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497528076171875 × 2 - 1) × π
    -0.00494384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01553156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24163818359375 × 2 - 1) × π
    0.5167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62333516873358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01553156} λ = -0.01553156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62333516873358))-π/2
    2×atan(5.06997136031247)-π/2
    2×1.37605623472882-π/2
    2.75211246945765-1.57079632675     		φ = 1.18131614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01553156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.889893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18131614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.684429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16303 KachelY 7918 -0.01553156 1.18131614 -0.889893 67.684429
    Oben rechts KachelX + 1 16304 KachelY 7918 -0.01533981 1.18131614 -0.878906 67.684429
    Unten links KachelX 16303 KachelY + 1 7919 -0.01553156 1.18124333 -0.889893 67.680257
    Unten rechts KachelX + 1 16304 KachelY + 1 7919 -0.01533981 1.18124333 -0.878906 67.680257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18131614-1.18124333) × R
    7.28100000000342e-05 × 6371000     		dl = 463.872510000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18131614-1.18124333) × R
    7.28100000000342e-05 × 6371000     		dr = 463.872510000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01553156--0.01533981) × cos(1.18131614) × R
    0.000191749999999999 × 0.379707583837429 × 6371000     		do = 463.865687938467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01553156--0.01533981) × cos(1.18124333) × R
    0.000191749999999999 × 0.379774939839667 × 6371000     		du = 463.947972674524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18131614)-sin(1.18124333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379707583837429-0.379774939839667)×R²
    abs(-0.01533981--0.01553156)×6.73560022375619e-05×R²
    0.000191749999999999×6.73560022375619e-05×6371000²
    0.000191749999999999×6.73560022375619e-05×40589641000000     		ar = 215193.62587571m²