Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16298 / 16470
↖ ↑ ↗
← N 79.126868°
W135.236206°		 ← 57.60 m → N 79.126868°
W135.233460°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.126350°
W135.236206°		 ← 57.60 m →
3 318 m²		 N 79.126350°
W135.233460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124347686767578 y=0.125659942626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124347686767578 × 217)
    floor (0.124347686767578 × 131072)
    floor (16298.5)     		tx = 16298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125659942626953 × 217)
    floor (0.125659942626953 × 131072)
    floor (16470.5)     		ty = 16470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16298 / 16470 ti = "17/16298/16470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16298/16470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16298 ÷ 217
    16298 ÷ 131072     		x = 0.124343872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16470 ÷ 217
    16470 ÷ 131072     		y = 0.125656127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124343872070312 × 2 - 1) × π
    -0.751312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.36031706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125656127929688 × 2 - 1) × π
    0.748687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35207191675768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36031706} λ = -2.36031706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35207191675768))-π/2
    2×atan(10.5073174743375)-π/2
    2×1.47591035010687-π/2
    2.95182070021374-1.57079632675     		φ = 1.38102437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36031706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.236206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38102437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.126868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16298 KachelY 16470 -2.36031706 1.38102437 -135.236206 79.126868
    Oben rechts KachelX + 1 16299 KachelY 16470 -2.36026913 1.38102437 -135.233460 79.126868
    Unten links KachelX 16298 KachelY + 1 16471 -2.36031706 1.38101533 -135.236206 79.126350
    Unten rechts KachelX + 1 16299 KachelY + 1 16471 -2.36026913 1.38101533 -135.233460 79.126350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38102437-1.38101533) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38102437-1.38101533) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36031706--2.36026913) × cos(1.38102437) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188634950674559 × 6371000     		do = 57.6019514669686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36031706--2.36026913) × cos(1.38101533) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188643828374241 × 6371000     		du = 57.604662379365m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38102437)-sin(1.38101533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188634950674559-0.188643828374241)×R²
    abs(-2.36026913--2.36031706)×8.87769968124785e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.87769968124785e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.87769968124785e-06×40589641000000     		ar = 3317.59564253329m²