Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16298 / 15398
↖ ↑ ↗
← N 79.668483°
W135.236206°		 ← 54.76 m → N 79.668483°
W135.233460°		 →
↑
54.79 m
↓
↑
54.79 m
↓
N 79.667990°
W135.236206°		 ← 54.77 m →
3 001 m²		 N 79.667990°
W135.233460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124347686767578 y=0.117481231689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124347686767578 × 217)
    floor (0.124347686767578 × 131072)
    floor (16298.5)     		tx = 16298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117481231689453 × 217)
    floor (0.117481231689453 × 131072)
    floor (15398.5)     		ty = 15398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16298 / 15398 ti = "17/16298/15398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16298/15398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16298 ÷ 217
    16298 ÷ 131072     		x = 0.124343872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15398 ÷ 217
    15398 ÷ 131072     		y = 0.117477416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124343872070312 × 2 - 1) × π
    -0.751312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -2.36031706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117477416992188 × 2 - 1) × π
    0.765045166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40346027315038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36031706} λ = -2.36031706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40346027315038))-π/2
    2×atan(11.0613856510348)-π/2
    2×1.48063683107355-π/2
    2.96127366214711-1.57079632675     		φ = 1.39047734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36031706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.236206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39047734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.668483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16298 KachelY 15398 -2.36031706 1.39047734 -135.236206 79.668483
    Oben rechts KachelX + 1 16299 KachelY 15398 -2.36026913 1.39047734 -135.233460 79.668483
    Unten links KachelX 16298 KachelY + 1 15399 -2.36031706 1.39046874 -135.236206 79.667990
    Unten rechts KachelX + 1 16299 KachelY + 1 15399 -2.36026913 1.39046874 -135.233460 79.667990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39047734-1.39046874) × R
    8.59999999991423e-06 × 6371000     		dl = 54.7905999994536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39047734-1.39046874) × R
    8.59999999991423e-06 × 6371000     		dr = 54.7905999994536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36031706--2.36026913) × cos(1.39047734) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.179343397458384 × 6371000     		do = 54.7646639150224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36031706--2.36026913) × cos(1.39046874) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17935185801595 × 6371000     		du = 54.7672474480557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39047734)-sin(1.39046874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179343397458384-0.17935185801595)×R²
    abs(-2.36026913--2.36031706)×8.46055756581476e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.46055756581476e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.46055756581476e-06×40589641000000     		ar = 3000.65957147586m²