Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16295 / 8055
↖ ↑ ↗
← N 67.105930°
W  0.977783°		 ← 475.25 m → N 67.105930°
W  0.966797°		 →
↑
475.28 m
↓
↑
475.28 m
↓
N 67.101655°
W  0.977783°		 ← 475.34 m →
225 896 m²		 N 67.101655°
W  0.966797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16295 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497299194335938 y=0.245834350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497299194335938 × 215)
    floor (0.497299194335938 × 32768)
    floor (16295.5)     		tx = 16295
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245834350585938 × 215)
    floor (0.245834350585938 × 32768)
    floor (8055.5)     		ty = 8055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16295 / 8055 ti = "15/16295/8055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16295/8055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16295 ÷ 215
    16295 ÷ 32768     		x = 0.497283935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8055 ÷ 215
    8055 ÷ 32768     		y = 0.245819091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497283935546875 × 2 - 1) × π
    -0.00543212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01706554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.245819091796875 × 2 - 1) × π
    0.50836181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59706574774179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01706554} λ = -0.01706554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59706574774179))-π/2
    2×atan(4.93852027937826)-π/2
    2×1.37100787560914-π/2
    2.74201575121827-1.57079632675     		φ = 1.17121942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01706554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.977783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17121942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.105930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16295 KachelY 8055 -0.01706554 1.17121942 -0.977783 67.105930
    Oben rechts KachelX + 1 16296 KachelY 8055 -0.01687379 1.17121942 -0.966797 67.105930
    Unten links KachelX 16295 KachelY + 1 8056 -0.01706554 1.17114482 -0.977783 67.101655
    Unten rechts KachelX + 1 16296 KachelY + 1 8056 -0.01687379 1.17114482 -0.966797 67.101655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17121942-1.17114482) × R
    7.45999999998137e-05 × 6371000     		dl = 475.276599998813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17121942-1.17114482) × R
    7.45999999998137e-05 × 6371000     		dr = 475.276599998813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01706554--0.01687379) × cos(1.17121942) × R
    0.000191750000000001 × 0.389028612817757 × 6371000     		do = 475.252622791227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01706554--0.01687379) × cos(1.17114482) × R
    0.000191750000000001 × 0.389097335170307 × 6371000     		du = 475.336576714455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17121942)-sin(1.17114482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389028612817757-0.389097335170307)×R²
    abs(-0.01687379--0.01706554)×6.87223525501768e-05×R²
    0.000191750000000001×6.87223525501768e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.87223525501768e-05×40589641000000     		ar = 225896.401472829m²