Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16293 / 8054
↖ ↑ ↗
← N 67.110203°
W  0.999756°		 ← 475.17 m → N 67.110203°
W  0.988769°		 →
↑
475.21 m
↓
↑
475.21 m
↓
N 67.105930°
W  0.999756°		 ← 475.25 m →
225 826 m²		 N 67.105930°
W  0.988769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497238159179688 y=0.245803833007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497238159179688 × 215)
    floor (0.497238159179688 × 32768)
    floor (16293.5)     		tx = 16293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245803833007812 × 215)
    floor (0.245803833007812 × 32768)
    floor (8054.5)     		ty = 8054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16293 / 8054 ti = "15/16293/8054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16293/8054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16293 ÷ 215
    16293 ÷ 32768     		x = 0.497222900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8054 ÷ 215
    8054 ÷ 32768     		y = 0.24578857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497222900390625 × 2 - 1) × π
    -0.00555419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01744903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24578857421875 × 2 - 1) × π
    0.5084228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59725749534027
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01744903} λ = -0.01744903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59725749534027))-π/2
    2×atan(4.93946731957531)-π/2
    2×1.37104516996585-π/2
    2.74209033993169-1.57079632675     		φ = 1.17129401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01744903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.999756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17129401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.110203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16293 KachelY 8054 -0.01744903 1.17129401 -0.999756 67.110203
    Oben rechts KachelX + 1 16294 KachelY 8054 -0.01725728 1.17129401 -0.988769 67.110203
    Unten links KachelX 16293 KachelY + 1 8055 -0.01744903 1.17121942 -0.999756 67.105930
    Unten rechts KachelX + 1 16294 KachelY + 1 8055 -0.01725728 1.17121942 -0.988769 67.105930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17129401-1.17121942) × R
    7.45900000000965e-05 × 6371000     		dl = 475.212890000615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17129401-1.17121942) × R
    7.45900000000965e-05 × 6371000     		dr = 475.212890000615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01744903--0.01725728) × cos(1.17129401) × R
    0.000191750000000001 × 0.388959897512747 × 6371000     		do = 475.168677477552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01744903--0.01725728) × cos(1.17121942) × R
    0.000191750000000001 × 0.389028612817757 × 6371000     		du = 475.252622791227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17129401)-sin(1.17121942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388959897512747-0.389028612817757)×R²
    abs(-0.01725728--0.01744903)×6.87153050100142e-05×R²
    0.000191750000000001×6.87153050100142e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.87153050100142e-05×40589641000000     		ar = 225826.226513713m²