Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16290 / 7899
↖ ↑ ↗
← N 67.763556°
W  1.032715°		 ← 462.28 m → N 67.763556°
W  1.021729°		 →
↑
462.34 m
↓
↑
462.34 m
↓
N 67.759398°
W  1.032715°		 ← 462.36 m →
213 751 m²		 N 67.759398°
W  1.021729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497146606445312 y=0.241073608398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497146606445312 × 215)
    floor (0.497146606445312 × 32768)
    floor (16290.5)     		tx = 16290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241073608398438 × 215)
    floor (0.241073608398438 × 32768)
    floor (7899.5)     		ty = 7899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16290 / 7899 ti = "15/16290/7899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16290/7899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16290 ÷ 215
    16290 ÷ 32768     		x = 0.49713134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7899 ÷ 215
    7899 ÷ 32768     		y = 0.241058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49713134765625 × 2 - 1) × π
    -0.0057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01802427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241058349609375 × 2 - 1) × π
    0.51788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.62697837310471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01802427} λ = -0.01802427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62697837310471))-π/2
    2×atan(5.08847598973968)-π/2
    2×1.37674674638148-π/2
    2.75349349276296-1.57079632675     		φ = 1.18269717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01802427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.032715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18269717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.763556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16290 KachelY 7899 -0.01802427 1.18269717 -1.032715 67.763556
    Oben rechts KachelX + 1 16291 KachelY 7899 -0.01783253 1.18269717 -1.021729 67.763556
    Unten links KachelX 16290 KachelY + 1 7900 -0.01802427 1.18262460 -1.032715 67.759398
    Unten rechts KachelX + 1 16291 KachelY + 1 7900 -0.01783253 1.18262460 -1.021729 67.759398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18269717-1.18262460) × R
    7.25699999999385e-05 × 6371000     		dl = 462.343469999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18269717-1.18262460) × R
    7.25699999999385e-05 × 6371000     		dr = 462.343469999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01802427--0.01783253) × cos(1.18269717) × R
    0.000191739999999999 × 0.378429622231013 × 6371000     		do = 462.280370128844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01802427--0.01783253) × cos(1.18262460) × R
    0.000191739999999999 × 0.378496794208438 × 6371000     		du = 462.362425773439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18269717)-sin(1.18262460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378429622231013-0.378496794208438)×R²
    abs(-0.01783253--0.01802427)×6.71719774246182e-05×R²
    0.000191739999999999×6.71719774246182e-05×6371000²
    0.000191739999999999×6.71719774246182e-05×40589641000000     		ar = 213751.279477211m²