Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16289 / 7898
↖ ↑ ↗
← N 67.767713°
W  1.043701°		 ← 462.22 m → N 67.767713°
W  1.032715°		 →
↑
462.22 m
↓
↑
462.22 m
↓
N 67.763556°
W  1.043701°		 ← 462.30 m →
213 666 m²		 N 67.763556°
W  1.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497116088867188 y=0.241043090820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497116088867188 × 215)
    floor (0.497116088867188 × 32768)
    floor (16289.5)     		tx = 16289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241043090820312 × 215)
    floor (0.241043090820312 × 32768)
    floor (7898.5)     		ty = 7898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16289 / 7898 ti = "15/16289/7898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16289/7898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16289 ÷ 215
    16289 ÷ 32768     		x = 0.497100830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7898 ÷ 215
    7898 ÷ 32768     		y = 0.24102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497100830078125 × 2 - 1) × π
    -0.00579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01821602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24102783203125 × 2 - 1) × π
    0.5179443359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.62717012070319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01821602} λ = -0.01821602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62717012070319))-π/2
    2×atan(5.08945178634098)-π/2
    2×1.37678302464787-π/2
    2.75356604929574-1.57079632675     		φ = 1.18276972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01821602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.043701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18276972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.767713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16289 KachelY 7898 -0.01821602 1.18276972 -1.043701 67.767713
    Oben rechts KachelX + 1 16290 KachelY 7898 -0.01802427 1.18276972 -1.032715 67.767713
    Unten links KachelX 16289 KachelY + 1 7899 -0.01821602 1.18269717 -1.043701 67.763556
    Unten rechts KachelX + 1 16290 KachelY + 1 7899 -0.01802427 1.18269717 -1.032715 67.763556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18276972-1.18269717) × R
    7.25500000000601e-05 × 6371000     		dl = 462.216050000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18276972-1.18269717) × R
    7.25500000000601e-05 × 6371000     		dr = 462.216050000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01821602--0.01802427) × cos(1.18276972) × R
    0.000191750000000001 × 0.378362466773775 × 6371000     		do = 462.222440137667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01821602--0.01802427) × cos(1.18269717) × R
    0.000191750000000001 × 0.378429622231013 × 6371000     		du = 462.30447988008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18276972)-sin(1.18269717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378362466773775-0.378429622231013)×R²
    abs(-0.01802427--0.01821602)×6.71554572378996e-05×R²
    0.000191750000000001×6.71554572378996e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.71554572378996e-05×40589641000000     		ar = 213665.590638542m²