Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16288 / 7896
↖ ↑ ↗
← N 67.776026°
W  1.054688°		 ← 462.06 m → N 67.776026°
W  1.043701°		 →
↑
462.09 m
↓
↑
462.09 m
↓
N 67.771870°
W  1.054688°		 ← 462.14 m →
213 531 m²		 N 67.771870°
W  1.043701°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16288 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497085571289062 y=0.240982055664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497085571289062 × 215)
    floor (0.497085571289062 × 32768)
    floor (16288.5)     		tx = 16288
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.240982055664062 × 215)
    floor (0.240982055664062 × 32768)
    floor (7896.5)     		ty = 7896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16288 / 7896 ti = "15/16288/7896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16288/7896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16288 ÷ 215
    16288 ÷ 32768     		x = 0.4970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7896 ÷ 215
    7896 ÷ 32768     		y = 0.240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4970703125 × 2 - 1) × π
    -0.005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01840777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.240966796875 × 2 - 1) × π
    0.51806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62755361590015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01840777} λ = -0.01840777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62755361590015))-π/2
    2×atan(5.09140394095324)-π/2
    2×1.37685556186595-π/2
    2.7537111237319-1.57079632675     		φ = 1.18291480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01840777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.054688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18291480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.776026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16288 KachelY 7896 -0.01840777 1.18291480 -1.054688 67.776026
    Oben rechts KachelX + 1 16289 KachelY 7896 -0.01821602 1.18291480 -1.043701 67.776026
    Unten links KachelX 16288 KachelY + 1 7897 -0.01840777 1.18284227 -1.054688 67.771870
    Unten rechts KachelX + 1 16289 KachelY + 1 7897 -0.01821602 1.18284227 -1.043701 67.771870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18291480-1.18284227) × R
    7.25299999999596e-05 × 6371000     		dl = 462.088629999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18291480-1.18284227) × R
    7.25299999999596e-05 × 6371000     		dr = 462.088629999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01840777--0.01821602) × cos(1.18291480) × R
    0.000191750000000001 × 0.378228168399366 × 6371000     		do = 462.058375972277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01840777--0.01821602) × cos(1.18284227) × R
    0.000191750000000001 × 0.378295309325025 × 6371000     		du = 462.140397962344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18291480)-sin(1.18284227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378228168399366-0.378295309325025)×R²
    abs(-0.01821602--0.01840777)×6.71409256597921e-05×R²
    0.000191750000000001×6.71409256597921e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.71409256597921e-05×40589641000000     		ar = 213530.872740995m²