Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16286 / 7911
↖ ↑ ↗
← N 67.713612°
W  1.076660°		 ← 463.27 m → N 67.713612°
W  1.065674°		 →
↑
463.30 m
↓
↑
463.30 m
↓
N 67.709446°
W  1.076660°		 ← 463.35 m →
214 650 m²		 N 67.709446°
W  1.065674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497024536132812 y=0.241439819335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497024536132812 × 215)
    floor (0.497024536132812 × 32768)
    floor (16286.5)     		tx = 16286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241439819335938 × 215)
    floor (0.241439819335938 × 32768)
    floor (7911.5)     		ty = 7911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16286 / 7911 ti = "15/16286/7911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16286/7911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16286 ÷ 215
    16286 ÷ 32768     		x = 0.49700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7911 ÷ 215
    7911 ÷ 32768     		y = 0.241424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.0059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01879126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.241424560546875 × 2 - 1) × π
    0.51715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.62467740192294
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01879126} λ = -0.01879126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62467740192294))-π/2
    2×atan(5.0767810131901)-π/2
    2×1.37631090463115-π/2
    2.75262180926229-1.57079632675     		φ = 1.18182548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01879126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.076660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18182548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.713612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16286 KachelY 7911 -0.01879126 1.18182548 -1.076660 67.713612
    Oben rechts KachelX + 1 16287 KachelY 7911 -0.01859952 1.18182548 -1.065674 67.713612
    Unten links KachelX 16286 KachelY + 1 7912 -0.01879126 1.18175276 -1.076660 67.709446
    Unten rechts KachelX + 1 16287 KachelY + 1 7912 -0.01859952 1.18175276 -1.065674 67.709446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18182548-1.18175276) × R
    7.27200000001371e-05 × 6371000     		dl = 463.299120000874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18182548-1.18175276) × R
    7.27200000001371e-05 × 6371000     		dr = 463.299120000874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01879126--0.01859952) × cos(1.18182548) × R
    0.000191739999999999 × 0.379236340828347 × 6371000     		do = 463.26583783501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01879126--0.01859952) × cos(1.18175276) × R
    0.000191739999999999 × 0.379303627630067 × 6371000     		du = 463.348033746156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18182548)-sin(1.18175276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379236340828347-0.379303627630067)×R²
    abs(-0.01859952--0.01879126)×6.72868017200234e-05×R²
    0.000191739999999999×6.72868017200234e-05×6371000²
    0.000191739999999999×6.72868017200234e-05×40589641000000     		ar = 214649.695736608m²