Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16282 / 51577
↖ ↑ ↗
← S 71.288461°
W 90.560302°		 ← 195.94 m → S 71.288461°
W 90.554810°		 →
↑
195.91 m
↓
↑
195.91 m
↓
S 71.290223°
W 90.560302°		 ← 195.93 m →
38 385 m²		 S 71.290223°
W 90.554810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248451232910156 y=0.787010192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248451232910156 × 216)
    floor (0.248451232910156 × 65536)
    floor (16282.5)     		tx = 16282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787010192871094 × 216)
    floor (0.787010192871094 × 65536)
    floor (51577.5)     		ty = 51577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16282 / 51577 ti = "16/16282/51577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16282/51577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16282 ÷ 216
    16282 ÷ 65536     		x = 0.248443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51577 ÷ 216
    51577 ÷ 65536     		y = 0.787002563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248443603515625 × 2 - 1) × π
    -0.50311279296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.58057545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787002563476562 × 2 - 1) × π
    -0.574005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80329028990727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58057545} λ = -1.58057545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80329028990727))-π/2
    2×atan(0.164755900740967)-π/2
    2×0.163288979719842-π/2
    0.326577959439683-1.57079632675     		φ = -1.24421837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58057545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.560302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24421837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.288461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16282 KachelY 51577 -1.58057545 -1.24421837 -90.560302 -71.288461
    Oben rechts KachelX + 1 16283 KachelY 51577 -1.58047958 -1.24421837 -90.554810 -71.288461
    Unten links KachelX 16282 KachelY + 1 51578 -1.58057545 -1.24424912 -90.560302 -71.290223
    Unten rechts KachelX + 1 16283 KachelY + 1 51578 -1.58047958 -1.24424912 -90.554810 -71.290223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24421837--1.24424912) × R
    3.07500000000793e-05 × 6371000     		dl = 195.908250000505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24421837--1.24424912) × R
    3.07500000000793e-05 × 6371000     		dr = 195.908250000505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58057545--1.58047958) × cos(-1.24421837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320803739608381 × 6371000     		do = 195.943000723059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58057545--1.58047958) × cos(-1.24424912) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320774614726706 × 6371000     		du = 195.92521160153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24421837)-sin(-1.24424912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320803739608381-0.320774614726706)×R²
    abs(-1.58047958--1.58057545)×2.91248816746692e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91248816746692e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91248816746692e-05×40589641000000     		ar = 38385.1078568058m²