Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16275 / 51615
↖ ↑ ↗
← S 71.355311°
W 90.598755°		 ← 195.27 m → S 71.355311°
W 90.593262°		 →
↑
195.27 m
↓
↑
195.27 m
↓
S 71.357067°
W 90.598755°		 ← 195.25 m →
38 128 m²		 S 71.357067°
W 90.593262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248344421386719 y=0.787590026855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248344421386719 × 216)
    floor (0.248344421386719 × 65536)
    floor (16275.5)     		tx = 16275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787590026855469 × 216)
    floor (0.787590026855469 × 65536)
    floor (51615.5)     		ty = 51615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16275 / 51615 ti = "16/16275/51615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16275/51615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16275 ÷ 216
    16275 ÷ 65536     		x = 0.248336791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51615 ÷ 216
    51615 ÷ 65536     		y = 0.787582397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248336791992188 × 2 - 1) × π
    -0.503326416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.58124657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787582397460938 × 2 - 1) × π
    -0.575164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.8069334942784
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58124657} λ = -1.58124657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8069334942784))-π/2
    2×atan(0.164156753394039)-π/2
    2×0.16270561013438-π/2
    0.32541122026876-1.57079632675     		φ = -1.24538511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58124657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.598755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24538511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.355311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16275 KachelY 51615 -1.58124657 -1.24538511 -90.598755 -71.355311
    Oben rechts KachelX + 1 16276 KachelY 51615 -1.58115070 -1.24538511 -90.593262 -71.355311
    Unten links KachelX 16275 KachelY + 1 51616 -1.58124657 -1.24541576 -90.598755 -71.357067
    Unten rechts KachelX + 1 16276 KachelY + 1 51616 -1.58115070 -1.24541576 -90.593262 -71.357067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24538511--1.24541576) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dl = 195.271150000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24538511--1.24541576) × R
    3.06500000000209e-05 × 6371000     		dr = 195.271150000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58124657--1.58115070) × cos(-1.24538511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.319698448742978 × 6371000     		do = 195.267902580179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58124657--1.58115070) × cos(-1.24541576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31966940712501 × 6371000     		du = 195.250164315103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24538511)-sin(-1.24541576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319698448742978-0.31966940712501)×R²
    abs(-1.58115070--1.58124657)×2.9041617967962e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9041617967962e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9041617967962e-05×40589641000000     		ar = 38128.4560120052m²