Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16271 / 51618
↖ ↑ ↗
← S 71.360578°
W 90.620728°		 ← 195.24 m → S 71.360578°
W 90.615234°		 →
↑
195.21 m
↓
↑
195.21 m
↓
S 71.362334°
W 90.620728°		 ← 195.22 m →
38 110 m²		 S 71.362334°
W 90.615234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248283386230469 y=0.787635803222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248283386230469 × 216)
    floor (0.248283386230469 × 65536)
    floor (16271.5)     		tx = 16271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787635803222656 × 216)
    floor (0.787635803222656 × 65536)
    floor (51618.5)     		ty = 51618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16271 / 51618 ti = "16/16271/51618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16271/51618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16271 ÷ 216
    16271 ÷ 65536     		x = 0.248275756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51618 ÷ 216
    51618 ÷ 65536     		y = 0.787628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248275756835938 × 2 - 1) × π
    -0.503448486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.58163007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.57525634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80722111567612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58163007} λ = -1.58163007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80722111567612))-π/2
    2×atan(0.164109545188553)-π/2
    2×0.162659640340919-π/2
    0.325319280681838-1.57079632675     		φ = -1.24547705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58163007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.620728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24547705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.360578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16271 KachelY 51618 -1.58163007 -1.24547705 -90.620728 -71.360578
    Oben rechts KachelX + 1 16272 KachelY 51618 -1.58153419 -1.24547705 -90.615234 -71.360578
    Unten links KachelX 16271 KachelY + 1 51619 -1.58163007 -1.24550769 -90.620728 -71.362334
    Unten rechts KachelX + 1 16272 KachelY + 1 51619 -1.58153419 -1.24550769 -90.615234 -71.362334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24547705--1.24550769) × R
    3.06399999998597e-05 × 6371000     		dl = 195.207439999106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24547705--1.24550769) × R
    3.06399999998597e-05 × 6371000     		dr = 195.207439999106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58163007--1.58153419) × cos(-1.24547705) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.319611332463675 × 6371000     		do = 195.235055460532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58163007--1.58153419) × cos(-1.24550769) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.319582299420558 × 6371000     		du = 195.217320583175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24547705)-sin(-1.24550769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319611332463675-0.319582299420558)×R²
    abs(-1.58153419--1.58163007)×2.9033043116633e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.9033043116633e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.9033043116633e-05×40589641000000     		ar = 38109.6043878759m²