Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16270 / 51573
↖ ↑ ↗
← S 71.281411°
W 90.626221°		 ← 196.01 m → S 71.281411°
W 90.620728°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
S 71.283174°
W 90.626221°		 ← 196 m →
38 412 m²		 S 71.283174°
W 90.620728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248268127441406 y=0.786949157714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248268127441406 × 216)
    floor (0.248268127441406 × 65536)
    floor (16270.5)     		tx = 16270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786949157714844 × 216)
    floor (0.786949157714844 × 65536)
    floor (51573.5)     		ty = 51573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16270 / 51573 ti = "16/16270/51573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16270/51573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16270 ÷ 216
    16270 ÷ 65536     		x = 0.248260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51573 ÷ 216
    51573 ÷ 65536     		y = 0.786941528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.50347900390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.58172594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786941528320312 × 2 - 1) × π
    -0.573883056640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80290679471031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58172594} λ = -1.58172594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80290679471031))-π/2
    2×atan(0.164819095954328)-π/2
    2×0.163350504239791-π/2
    0.326701008479582-1.57079632675     		φ = -1.24409532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58172594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.626221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24409532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.281411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16270 KachelY 51573 -1.58172594 -1.24409532 -90.626221 -71.281411
    Oben rechts KachelX + 1 16271 KachelY 51573 -1.58163007 -1.24409532 -90.620728 -71.281411
    Unten links KachelX 16270 KachelY + 1 51574 -1.58172594 -1.24412608 -90.626221 -71.283174
    Unten rechts KachelX + 1 16271 KachelY + 1 51574 -1.58163007 -1.24412608 -90.620728 -71.283174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24409532--1.24412608) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dl = 195.971960000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24409532--1.24412608) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dr = 195.971960000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58172594--1.58163007) × cos(-1.24409532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320920283456715 × 6371000     		do = 196.01418428029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58172594--1.58163007) × cos(-1.24412608) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320891150317898 × 6371000     		du = 195.996390115399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24409532)-sin(-1.24412608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320920283456715-0.320891150317898)×R²
    abs(-1.58163007--1.58172594)×2.91331388168614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91331388168614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91331388168614e-05×40589641000000     		ar = 38411.5403057578m²