Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16269 / 51575
↖ ↑ ↗
← S 71.284937°
W 90.631714°		 ← 195.98 m → S 71.284937°
W 90.626221°		 →
↑
195.97 m
↓
↑
195.97 m
↓
S 71.286699°
W 90.631714°		 ← 195.96 m →
38 405 m²		 S 71.286699°
W 90.626221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.248252868652344 y=0.786979675292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.248252868652344 × 216)
    floor (0.248252868652344 × 65536)
    floor (16269.5)     		tx = 16269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786979675292969 × 216)
    floor (0.786979675292969 × 65536)
    floor (51575.5)     		ty = 51575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16269 / 51575 ti = "16/16269/51575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16269/51575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16269 ÷ 216
    16269 ÷ 65536     		x = 0.248245239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51575 ÷ 216
    51575 ÷ 65536     		y = 0.786972045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.248245239257812 × 2 - 1) × π
    -0.503509521484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.58182181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.786972045898438 × 2 - 1) × π
    -0.573944091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80309854230879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58182181} λ = -1.58182181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80309854230879))-π/2
    2×atan(0.164787495318265)-π/2
    2×0.163319739186463-π/2
    0.326639478372925-1.57079632675     		φ = -1.24415685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58182181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.631714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24415685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.284937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16269 KachelY 51575 -1.58182181 -1.24415685 -90.631714 -71.284937
    Oben rechts KachelX + 1 16270 KachelY 51575 -1.58172594 -1.24415685 -90.626221 -71.284937
    Unten links KachelX 16269 KachelY + 1 51576 -1.58182181 -1.24418761 -90.631714 -71.286699
    Unten rechts KachelX + 1 16270 KachelY + 1 51576 -1.58172594 -1.24418761 -90.626221 -71.286699
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24415685--1.24418761) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dl = 195.971960000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24415685--1.24418761) × R
    3.07600000000186e-05 × 6371000     		dr = 195.971960000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58182181--1.58172594) × cos(-1.24415685) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320862007404201 × 6371000     		do = 195.978589980131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58182181--1.58172594) × cos(-1.24418761) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.320832873658073 × 6371000     		du = 195.960795444302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24415685)-sin(-1.24418761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320862007404201-0.320832873658073)×R²
    abs(-1.58172594--1.58182181)×2.91337461280072e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.91337461280072e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.91337461280072e-05×40589641000000     		ar = 38404.5647845089m²