Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16253 / 17321
↖ ↑ ↗
← S 10.239249°
W  1.439209°		 ← 1 202.18 m → S 10.239249°
W  1.428223°		 →
↑
1 202.21 m
↓
↑
1 202.21 m
↓
S 10.250060°
W  1.439209°		 ← 1 202.14 m →
1 445 250 m²		 S 10.250060°
W  1.428223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.496017456054688 y=0.528610229492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.496017456054688 × 215)
    floor (0.496017456054688 × 32768)
    floor (16253.5)     		tx = 16253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528610229492188 × 215)
    floor (0.528610229492188 × 32768)
    floor (17321.5)     		ty = 17321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16253 / 17321 ti = "15/16253/17321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16253/17321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16253 ÷ 215
    16253 ÷ 32768     		x = 0.496002197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17321 ÷ 215
    17321 ÷ 32768     		y = 0.528594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.496002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.00799560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02511894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.05718994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.17966749977597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02511894} λ = -0.02511894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.17966749977597))-π/2
    2×atan(0.835547985121043)-π/2
    2×0.696043861058707-π/2
    1.39208772211741-1.57079632675     		φ = -0.17870860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02511894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.439209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17870860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.239249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16253 KachelY 17321 -0.02511894 -0.17870860 -1.439209 -10.239249
    Oben rechts KachelX + 1 16254 KachelY 17321 -0.02492719 -0.17870860 -1.428223 -10.239249
    Unten links KachelX 16253 KachelY + 1 17322 -0.02511894 -0.17889730 -1.439209 -10.250060
    Unten rechts KachelX + 1 16254 KachelY + 1 17322 -0.02492719 -0.17889730 -1.428223 -10.250060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17870860--0.17889730) × R
    0.000188700000000014 × 6371000     		dl = 1202.20770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17870860--0.17889730) × R
    0.000188700000000014 × 6371000     		dr = 1202.20770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02511894--0.02492719) × cos(-0.17870860) × R
    0.000191750000000001 × 0.984074071130165 × 6371000     		do = 1202.18351019991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02511894--0.02492719) × cos(-0.17889730) × R
    0.000191750000000001 × 0.984040510507755 × 6371000     		du = 1202.14251122632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17870860)-sin(-0.17889730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984074071130165-0.984040510507755)×R²
    abs(-0.02492719--0.02511894)×3.35606224101115e-05×R²
    0.000191750000000001×3.35606224101115e-05×6371000²
    0.000191750000000001×3.35606224101115e-05×40589641000000     		ar = 1445249.63242312m²