Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 16252 / 51608
↖ ↑ ↗
← S 71.343013°
W 90.725098°		 ← 195.41 m → S 71.343013°
W 90.719604°		 →
↑
195.40 m
↓
↑
195.40 m
↓
S 71.344771°
W 90.725098°		 ← 195.39 m →
38 182 m²		 S 71.344771°
W 90.719604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.247993469238281 y=0.787483215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.247993469238281 × 216)
    floor (0.247993469238281 × 65536)
    floor (16252.5)     		tx = 16252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787483215332031 × 216)
    floor (0.787483215332031 × 65536)
    floor (51608.5)     		ty = 51608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 16252 / 51608 ti = "16/16252/51608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/16252/51608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16252 ÷ 216
    16252 ÷ 65536     		x = 0.24798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51608 ÷ 216
    51608 ÷ 65536     		y = 0.7874755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.5040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.58345167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7874755859375 × 2 - 1) × π
    -0.574951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.80626237768372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.58345167} λ = -1.58345167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80626237768372))-π/2
    2×atan(0.164266958691536)-π/2
    2×0.162812921717668-π/2
    0.325625843435337-1.57079632675     		φ = -1.24517048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.58345167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -90.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24517048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.343013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16252 KachelY 51608 -1.58345167 -1.24517048 -90.725098 -71.343013
    Oben rechts KachelX + 1 16253 KachelY 51608 -1.58335579 -1.24517048 -90.719604 -71.343013
    Unten links KachelX 16252 KachelY + 1 51609 -1.58345167 -1.24520115 -90.725098 -71.344771
    Unten rechts KachelX + 1 16253 KachelY + 1 51609 -1.58335579 -1.24520115 -90.719604 -71.344771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24517048--1.24520115) × R
    3.06699999998994e-05 × 6371000     		dl = 195.398569999359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24517048--1.24520115) × R
    3.06699999998994e-05 × 6371000     		dr = 195.398569999359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.58345167--1.58335579) × cos(-1.24517048) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.319901807453989 × 6371000     		do = 195.412492538269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.58345167--1.58335579) × cos(-1.24520115) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.319872748990492 × 6371000     		du = 195.394742132835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24517048)-sin(-1.24520115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319901807453989-0.319872748990492)×R²
    abs(-1.58335579--1.58345167)×2.90584634973778e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.90584634973778e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.90584634973778e-05×40589641000000     		ar = 38181.5874030812m²