Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16252 / 17313
↖ ↑ ↗
← S 10.152746°
W  1.450195°		 ← 1 202.45 m → S 10.152746°
W  1.439209°		 →
↑
1 202.46 m
↓
↑
1 202.46 m
↓
S 10.163560°
W  1.450195°		 ← 1 202.41 m →
1 445 873 m²		 S 10.163560°
W  1.439209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495986938476562 y=0.528366088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495986938476562 × 215)
    floor (0.495986938476562 × 32768)
    floor (16252.5)     		tx = 16252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528366088867188 × 215)
    floor (0.528366088867188 × 32768)
    floor (17313.5)     		ty = 17313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16252 / 17313 ti = "15/16252/17313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16252/17313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16252 ÷ 215
    16252 ÷ 32768     		x = 0.4959716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17313 ÷ 215
    17313 ÷ 32768     		y = 0.528350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.05670166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.178133518988129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02531068} λ = -0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.178133518988129))-π/2
    2×atan(0.83683068324315)-π/2
    2×0.696798739045724-π/2
    1.39359747809145-1.57079632675     		φ = -0.17719885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17719885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.152746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16252 KachelY 17313 -0.02531068 -0.17719885 -1.450195 -10.152746
    Oben rechts KachelX + 1 16253 KachelY 17313 -0.02511894 -0.17719885 -1.439209 -10.152746
    Unten links KachelX 16252 KachelY + 1 17314 -0.02531068 -0.17738759 -1.450195 -10.163560
    Unten rechts KachelX + 1 16253 KachelY + 1 17314 -0.02511894 -0.17738759 -1.439209 -10.163560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17719885--0.17738759) × R
    0.000188740000000021 × 6371000     		dl = 1202.46254000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17719885--0.17738759) × R
    0.000188740000000021 × 6371000     		dr = 1202.46254000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02531068--0.02511894) × cos(-0.17719885) × R
    0.000191739999999999 × 0.984341320988527 × 6371000     		do = 1202.44728073087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02531068--0.02511894) × cos(-0.17738759) × R
    0.000191739999999999 × 0.984308033693819 × 6371000     		du = 1202.40661778586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17719885)-sin(-0.17738759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984341320988527-0.984308033693819)×R²
    abs(-0.02511894--0.02531068)×3.32872947079732e-05×R²
    0.000191739999999999×3.32872947079732e-05×6371000²
    0.000191739999999999×3.32872947079732e-05×40589641000000     		ar = 1445873.36786209m²