Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16252 / 17299
↖ ↑ ↗
← S 10.001311°
W  1.450195°		 ← 1 203.01 m → S 10.001311°
W  1.439209°		 →
↑
1 203.04 m
↓
↑
1 203.04 m
↓
S 10.012130°
W  1.450195°		 ← 1 202.97 m →
1 447 243 m²		 S 10.012130°
W  1.439209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495986938476562 y=0.527938842773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495986938476562 × 215)
    floor (0.495986938476562 × 32768)
    floor (16252.5)     		tx = 16252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527938842773438 × 215)
    floor (0.527938842773438 × 32768)
    floor (17299.5)     		ty = 17299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16252 / 17299 ti = "15/16252/17299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16252/17299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16252 ÷ 215
    16252 ÷ 32768     		x = 0.4959716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17299 ÷ 215
    17299 ÷ 32768     		y = 0.527923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4959716796875 × 2 - 1) × π
    -0.008056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02531068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.527923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.05584716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.175449052609406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02531068} λ = -0.02531068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.175449052609406))-π/2
    2×atan(0.839080145028398)-π/2
    2×0.69812026574645-π/2
    1.3962405314929-1.57079632675     		φ = -0.17455580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02531068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.450195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17455580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.001311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16252 KachelY 17299 -0.02531068 -0.17455580 -1.450195 -10.001311
    Oben rechts KachelX + 1 16253 KachelY 17299 -0.02511894 -0.17455580 -1.439209 -10.001311
    Unten links KachelX 16252 KachelY + 1 17300 -0.02531068 -0.17474463 -1.450195 -10.012130
    Unten rechts KachelX + 1 16253 KachelY + 1 17300 -0.02511894 -0.17474463 -1.439209 -10.012130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17455580--0.17474463) × R
    0.000188830000000001 × 6371000     		dl = 1203.03593000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17455580--0.17474463) × R
    0.000188830000000001 × 6371000     		dr = 1203.03593000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02531068--0.02511894) × cos(-0.17455580) × R
    0.000191739999999999 × 0.984803780587122 × 6371000     		do = 1203.01221006475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02531068--0.02511894) × cos(-0.17474463) × R
    0.000191739999999999 × 0.98477096879065 × 6371000     		du = 1202.97212797676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17455580)-sin(-0.17474463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984803780587122-0.98477096879065)×R²
    abs(-0.02511894--0.02531068)×3.28117964721875e-05×R²
    0.000191739999999999×3.28117964721875e-05×6371000²
    0.000191739999999999×3.28117964721875e-05×40589641000000     		ar = 1447242.80714091m²