Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16247 / 17333
↖ ↑ ↗
← S 10.368959°
W  1.505127°		 ← 1 201.69 m → S 10.368959°
W  1.494140°		 →
↑
1 201.63 m
↓
↑
1 201.63 m
↓
S 10.379765°
W  1.505127°		 ← 1 201.65 m →
1 443 966 m²		 S 10.379765°
W  1.494140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495834350585938 y=0.528976440429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495834350585938 × 215)
    floor (0.495834350585938 × 32768)
    floor (16247.5)     		tx = 16247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528976440429688 × 215)
    floor (0.528976440429688 × 32768)
    floor (17333.5)     		ty = 17333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16247 / 17333 ti = "15/16247/17333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16247/17333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16247 ÷ 215
    16247 ÷ 32768     		x = 0.495819091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17333 ÷ 215
    17333 ÷ 32768     		y = 0.528961181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495819091796875 × 2 - 1) × π
    -0.00836181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02626942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.05792236328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.181968470957733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02626942} λ = -0.02626942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181968470957733))-π/2
    2×atan(0.833627623481969)-π/2
    2×0.694911930493456-π/2
    1.38982386098691-1.57079632675     		φ = -0.18097247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02626942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.505127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18097247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.368959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16247 KachelY 17333 -0.02626942 -0.18097247 -1.505127 -10.368959
    Oben rechts KachelX + 1 16248 KachelY 17333 -0.02607767 -0.18097247 -1.494140 -10.368959
    Unten links KachelX 16247 KachelY + 1 17334 -0.02626942 -0.18116108 -1.505127 -10.379765
    Unten rechts KachelX + 1 16248 KachelY + 1 17334 -0.02607767 -0.18116108 -1.494140 -10.379765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18097247--0.18116108) × R
    0.000188610000000006 × 6371000     		dl = 1201.63431000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18097247--0.18116108) × R
    0.000188610000000006 × 6371000     		dr = 1201.63431000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02626942--0.02607767) × cos(-0.18097247) × R
    0.000191750000000001 × 0.983669126716872 × 6371000     		do = 1201.68881421056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02626942--0.02607767) × cos(-0.18116108) × R
    0.000191750000000001 × 0.983635162014618 × 6371000     		du = 1201.64732159717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18097247)-sin(-0.18116108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983669126716872-0.983635162014618)×R²
    abs(-0.02607767--0.02626942)×3.39647022545853e-05×R²
    0.000191750000000001×3.39647022545853e-05×6371000²
    0.000191750000000001×3.39647022545853e-05×40589641000000     		ar = 1443965.58390533m²