Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16246 / 17322
↖ ↑ ↗
← S 10.250060°
W  1.516113°		 ← 1 202.14 m → S 10.250060°
W  1.505127°		 →
↑
1 202.08 m
↓
↑
1 202.08 m
↓
S 10.260871°
W  1.516113°		 ← 1 202.10 m →
1 445 047 m²		 S 10.260871°
W  1.505127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495803833007812 y=0.528640747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495803833007812 × 215)
    floor (0.495803833007812 × 32768)
    floor (16246.5)     		tx = 16246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528640747070312 × 215)
    floor (0.528640747070312 × 32768)
    floor (17322.5)     		ty = 17322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16246 / 17322 ti = "15/16246/17322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16246/17322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16246 ÷ 215
    16246 ÷ 32768     		x = 0.49578857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17322 ÷ 215
    17322 ÷ 32768     		y = 0.52862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49578857421875 × 2 - 1) × π
    -0.0084228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02646117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52862548828125 × 2 - 1) × π
    -0.0572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.179859247374451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02646117} λ = -0.02646117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.179859247374451))-π/2
    2×atan(0.835387786160855)-π/2
    2×0.695949515747295-π/2
    1.39189903149459-1.57079632675     		φ = -0.17889730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02646117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.516113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17889730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.250060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16246 KachelY 17322 -0.02646117 -0.17889730 -1.516113 -10.250060
    Oben rechts KachelX + 1 16247 KachelY 17322 -0.02626942 -0.17889730 -1.505127 -10.250060
    Unten links KachelX 16246 KachelY + 1 17323 -0.02646117 -0.17908598 -1.516113 -10.260871
    Unten rechts KachelX + 1 16247 KachelY + 1 17323 -0.02626942 -0.17908598 -1.505127 -10.260871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17889730--0.17908598) × R
    0.000188679999999997 × 6371000     		dl = 1202.08027999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17889730--0.17908598) × R
    0.000188679999999997 × 6371000     		dr = 1202.08027999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02646117--0.02626942) × cos(-0.17889730) × R
    0.000191749999999997 × 0.984040510507755 × 6371000     		do = 1202.14251122629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02646117--0.02626942) × cos(-0.17908598) × R
    0.000191749999999997 × 0.98400691840854 × 6371000     		du = 1202.1014737994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17889730)-sin(-0.17908598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984040510507755-0.98400691840854)×R²
    abs(-0.02626942--0.02646117)×3.35920992142746e-05×R²
    0.000191749999999997×3.35920992142746e-05×6371000²
    0.000191749999999997×3.35920992142746e-05×40589641000000     		ar = 1445047.14564081m²