Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16245 / 17331
↖ ↑ ↗
← S 10.347344°
W  1.527100°		 ← 1 201.77 m → S 10.347344°
W  1.516113°		 →
↑
1 201.76 m
↓
↑
1 201.76 m
↓
S 10.358152°
W  1.527100°		 ← 1 201.73 m →
1 444 218 m²		 S 10.358152°
W  1.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495773315429688 y=0.528915405273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495773315429688 × 215)
    floor (0.495773315429688 × 32768)
    floor (16245.5)     		tx = 16245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.528915405273438 × 215)
    floor (0.528915405273438 × 32768)
    floor (17331.5)     		ty = 17331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16245 / 17331 ti = "15/16245/17331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16245/17331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16245 ÷ 215
    16245 ÷ 32768     		x = 0.495758056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17331 ÷ 215
    17331 ÷ 32768     		y = 0.528900146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.495758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.00848388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02665292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.528900146484375 × 2 - 1) × π
    -0.05780029296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.181584975760773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02665292} λ = -0.02665292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.181584975760773))-π/2
    2×atan(0.833947376979674)-π/2
    2×0.695100553191532-π/2
    1.39020110638306-1.57079632675     		φ = -0.18059522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02665292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.527100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.18059522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -10.347344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16245 KachelY 17331 -0.02665292 -0.18059522 -1.527100 -10.347344
    Oben rechts KachelX + 1 16246 KachelY 17331 -0.02646117 -0.18059522 -1.516113 -10.347344
    Unten links KachelX 16245 KachelY + 1 17332 -0.02665292 -0.18078385 -1.527100 -10.358152
    Unten rechts KachelX + 1 16246 KachelY + 1 17332 -0.02646117 -0.18078385 -1.516113 -10.358152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.18059522--0.18078385) × R
    0.000188629999999995 × 6371000     		dl = 1201.76172999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.18059522--0.18078385) × R
    0.000188629999999995 × 6371000     		dr = 1201.76172999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02665292--0.02646117) × cos(-0.18059522) × R
    0.000191750000000001 × 0.983736956530284 × 6371000     		do = 1201.77167777294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02665292--0.02646117) × cos(-0.18078385) × R
    0.000191750000000001 × 0.983703058224352 × 6371000     		du = 1201.73026627191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.18059522)-sin(-0.18078385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983736956530284-0.983703058224352)×R²
    abs(-0.02646117--0.02665292)×3.389830593159e-05×R²
    0.000191750000000001×3.389830593159e-05×6371000²
    0.000191750000000001×3.389830593159e-05×40589641000000     		ar = 1444218.331449m²