Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16244 / 15484
↖ ↑ ↗
← N 79.626035°
W135.384522°		 ← 55 m → N 79.626035°
W135.381775°		 →
↑
54.98 m
↓
↑
54.98 m
↓
N 79.625540°
W135.384522°		 ← 55 m →
3 024 m²		 N 79.625540°
W135.381775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123935699462891 y=0.118137359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123935699462891 × 217)
    floor (0.123935699462891 × 131072)
    floor (16244.5)     		tx = 16244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118137359619141 × 217)
    floor (0.118137359619141 × 131072)
    floor (15484.5)     		ty = 15484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16244 / 15484 ti = "17/16244/15484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16244/15484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16244 ÷ 217
    16244 ÷ 131072     		x = 0.123931884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15484 ÷ 217
    15484 ÷ 131072     		y = 0.118133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123931884765625 × 2 - 1) × π
    -0.75213623046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.36290566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118133544921875 × 2 - 1) × π
    0.76373291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.39933769978305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36290566} λ = -2.36290566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39933769978305))-π/2
    2×atan(11.0158781456113)-π/2
    2×1.48026640226868-π/2
    2.96053280453737-1.57079632675     		φ = 1.38973648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36290566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.384522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38973648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.626035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16244 KachelY 15484 -2.36290566 1.38973648 -135.384522 79.626035
    Oben rechts KachelX + 1 16245 KachelY 15484 -2.36285772 1.38973648 -135.381775 79.626035
    Unten links KachelX 16244 KachelY + 1 15485 -2.36290566 1.38972785 -135.384522 79.625540
    Unten rechts KachelX + 1 16245 KachelY + 1 15485 -2.36285772 1.38972785 -135.381775 79.625540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38973648-1.38972785) × R
    8.62999999995395e-06 × 6371000     		dl = 54.9817299997066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38973648-1.38972785) × R
    8.62999999995395e-06 × 6371000     		dr = 54.9817299997066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36290566--2.36285772) × cos(1.38973648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180072196265361 × 6371000     		do = 54.998683797737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36290566--2.36285772) × cos(1.38972785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180080685187466 × 6371000     		du = 55.0012765330526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38973648)-sin(1.38972785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180072196265361-0.180080685187466)×R²
    abs(-2.36285772--2.36290566)×8.48892210464358e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.48892210464358e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.48892210464358e-06×40589641000000     		ar = 3023.99405929393m²