Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 16243 / 15501
↖ ↑ ↗
← N 79.617623°
W135.387268°		 ← 55.03 m → N 79.617623°
W135.384522°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.617128°
W135.387268°		 ← 55.03 m →
3 029 m²		 N 79.617128°
W135.384522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.123928070068359 y=0.118267059326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.123928070068359 × 217)
    floor (0.123928070068359 × 131072)
    floor (16243.5)     		tx = 16243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118267059326172 × 217)
    floor (0.118267059326172 × 131072)
    floor (15501.5)     		ty = 15501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 16243 / 15501 ti = "17/16243/15501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/16243/15501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16243 ÷ 217
    16243 ÷ 131072     		x = 0.123924255371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15501 ÷ 217
    15501 ÷ 131072     		y = 0.118263244628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.123924255371094 × 2 - 1) × π
    -0.752151489257812 × 3.1415926535     		Λ = -2.36295359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118263244628906 × 2 - 1) × π
    0.763473510742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.39852277248951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.36295359} λ = -2.36295359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39852277248951))-π/2
    2×atan(11.0069046627128)-π/2
    2×1.48019299997834-π/2
    2.96038599995669-1.57079632675     		φ = 1.38958967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.36295359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.387268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38958967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.617623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16243 KachelY 15501 -2.36295359 1.38958967 -135.387268 79.617623
    Oben rechts KachelX + 1 16244 KachelY 15501 -2.36290566 1.38958967 -135.384522 79.617623
    Unten links KachelX 16243 KachelY + 1 15502 -2.36295359 1.38958103 -135.387268 79.617128
    Unten rechts KachelX + 1 16244 KachelY + 1 15502 -2.36290566 1.38958103 -135.384522 79.617128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38958967-1.38958103) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dl = 55.0454400007341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38958967-1.38958103) × R
    8.64000000011522e-06 × 6371000     		dr = 55.0454400007341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.36295359--2.36290566) × cos(1.38958967) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180216604479395 × 6371000     		do = 55.0313081835688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.36295359--2.36290566) × cos(1.38958103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180225103009511 × 6371000     		du = 55.033903311977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38958967)-sin(1.38958103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180216604479395-0.180225103009511)×R²
    abs(-2.36290566--2.36295359)×8.49853011578028e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.49853011578028e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.49853011578028e-06×40589641000000     		ar = 3029.29399782135m²