Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 16242 / 7922
↖ ↑ ↗
← N 67.667737°
W  1.560059°		 ← 464.19 m → N 67.667737°
W  1.549072°		 →
↑
464.25 m
↓
↑
464.25 m
↓
N 67.663562°
W  1.560059°		 ← 464.28 m →
215 524 m²		 N 67.663562°
W  1.549072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495681762695312 y=0.241775512695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495681762695312 × 215)
    floor (0.495681762695312 × 32768)
    floor (16242.5)     		tx = 16242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.241775512695312 × 215)
    floor (0.241775512695312 × 32768)
    floor (7922.5)     		ty = 7922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16242 / 7922 ti = "15/16242/7922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16242/7922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16242 ÷ 215
    16242 ÷ 32768     		x = 0.49566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7922 ÷ 215
    7922 ÷ 32768     		y = 0.24176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.0086669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.02722816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24176025390625 × 2 - 1) × π
    0.5164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.62256817833966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02722816} λ = -0.02722816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.62256817833966))-π/2
    2×atan(5.06608423186731)-π/2
    2×1.37591056702419-π/2
    2.75182113404837-1.57079632675     		φ = 1.18102481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02722816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.560059°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18102481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.667737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16242 KachelY 7922 -0.02722816 1.18102481 -1.560059 67.667737
    Oben rechts KachelX + 1 16243 KachelY 7922 -0.02703641 1.18102481 -1.549072 67.667737
    Unten links KachelX 16242 KachelY + 1 7923 -0.02722816 1.18095194 -1.560059 67.663562
    Unten rechts KachelX + 1 16243 KachelY + 1 7923 -0.02703641 1.18095194 -1.549072 67.663562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18102481-1.18095194) × R
    7.28700000001137e-05 × 6371000     		dl = 464.254770000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18102481-1.18095194) × R
    7.28700000001137e-05 × 6371000     		dr = 464.254770000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02722816--0.02703641) × cos(1.18102481) × R
    0.000191750000000001 × 0.379977079014787 × 6371000     		do = 464.194913824818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02722816--0.02703641) × cos(1.18095194) × R
    0.000191750000000001 × 0.380044482457288 × 6371000     		du = 464.277256515762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18102481)-sin(1.18095194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379977079014787-0.380044482457288)×R²
    abs(-0.02703641--0.02722816)×6.74034425008907e-05×R²
    0.000191750000000001×6.74034425008907e-05×6371000²
    0.000191750000000001×6.74034425008907e-05×40589641000000     		ar = 215523.817041375m²