Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 16240 / 17296
↖ ↑ ↗
← S  9.968851°
W  1.582031°		 ← 1 203.13 m → S  9.968851°
W  1.571045°		 →
↑
1 203.16 m
↓
↑
1 203.16 m
↓
S  9.979671°
W  1.582031°		 ← 1 203.09 m →
1 447 541 m²		 S  9.979671°
W  1.571045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 16240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.495620727539062 y=0.527847290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.495620727539062 × 215)
    floor (0.495620727539062 × 32768)
    floor (16240.5)     		tx = 16240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.527847290039062 × 215)
    floor (0.527847290039062 × 32768)
    floor (17296.5)     		ty = 17296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 16240 / 17296 ti = "15/16240/17296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/16240/17296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 16240 ÷ 215
    16240 ÷ 32768     		x = 0.49560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17296 ÷ 215
    17296 ÷ 32768     		y = 0.52783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    -0.0087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.02761165
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52783203125 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.174873809813965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.02761165} λ = -0.02761165}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.174873809813965))-π/2
    2×atan(0.839562958690849)-π/2
    2×0.698403530520625-π/2
    1.39680706104125-1.57079632675     		φ = -0.17398927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.02761165} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -1.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.17398927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -9.968851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 16240 KachelY 17296 -0.02761165 -0.17398927 -1.582031 -9.968851
    Oben rechts KachelX + 1 16241 KachelY 17296 -0.02741991 -0.17398927 -1.571045 -9.968851
    Unten links KachelX 16240 KachelY + 1 17297 -0.02761165 -0.17417812 -1.582031 -9.979671
    Unten rechts KachelX + 1 16241 KachelY + 1 17297 -0.02741991 -0.17417812 -1.571045 -9.979671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.17398927--0.17417812) × R
    0.00018884999999999 × 6371000     		dl = 1203.16334999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.17398927--0.17417812) × R
    0.00018884999999999 × 6371000     		dr = 1203.16334999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.02761165--0.02741991) × cos(-0.17398927) × R
    0.000191740000000003 × 0.984902012206852 × 6371000     		do = 1203.13220740869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.02761165--0.02741991) × cos(-0.17417812) × R
    0.000191740000000003 × 0.984869302300111 × 6371000     		du = 1203.0922497867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.17398927)-sin(-0.17417812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984902012206852-0.984869302300111)×R²
    abs(-0.02741991--0.02761165)×3.27099067409797e-05×R²
    0.000191740000000003×3.27099067409797e-05×6371000²
    0.000191740000000003×3.27099067409797e-05×40589641000000     		ar = 1447540.5436876m²